Абелийн шагнал

Цөөхөн уншигч Абел гэдэг нэрний талаар юу ч хэлэх болно. Үгүй ээ, энэ бол өөрийн төрсөн дүү Кайндаа алсан азгүй залуугийн тухай биш юм. Би Норвегийн математикч Ниэлс Хенрик Абел (1802–1829) болон түүний нэрэмжит шагналыг Норвегийн Шинжлэх Ухааны Академиас саяхан олгосон (16 оны 2016-р сарын XNUMX) болон Сэр Эндрю Ж.Уайлсд бичсэн захидлыг хэлж байна. Энэ нь математикчдыг дэлхийн шинжлэх ухааны хамгийн чухал шагналын ангилалд Альфред Нобелийн орхигдсоны нөхөн төлбөр юм.

Хэдийгээр математикчид гэж нэрлэгддэг зүйлийг үнэлдэг. Филдсийн медаль (албан ёсоор салбартаа хамгийн өндөр лавр гэж тооцогддог), энэ нь зөвхөн 15 мянгатай холбоотой юм. (сая, мянган биш!) Канадын долларыг ялагч хүртэл Абелийн шагналууд халаасандаа 6 сая норвеги крон (ойролцоогоор 750 8 евро) чек хийжээ. Нобелийн шагналтнууд 865 сая SEK буюу XNUMX мянга орчим авдаг. евро - том тэмцээнд түрүүлсэн теннисчдээс бага. Альфред Нобель математикчдыг шагнал хүртэх магадлалтай хүмүүсийн тоонд оруулаагүй хэд хэдэн шалтгаан байж болох юм. Нобелийн гэрээслэлд хүн төрөлхтөнд хамгийн их ашиг тусыг авчирдаг "шинэ бүтээл, нээлтүүд"-ийн тухай өгүүлсэн боловч онолын хувьд биш, харин практик ач холбогдолтой байж магадгүй юм. Математик нь хүн төрөлхтөнд практик ашиг тус авчрах шинжлэх ухаан гэж тооцогддоггүй байв.

Яагаад Абел гэж?

Хэн байсан Нилс Хенрик Абел тэр яаж алдартай болсон бэ? Тэрээр 27-хон настайдаа сүрьеэ өвчнөөр нас барсан ч математикийн салбарт байнгын байр суурь эзэлдэг байсан тул тэрээр гайхалтай байсан байх. За, аль хэдийн бага дунд сургуульд байхдаа тэд бидэнд тэгшитгэлийг шийдэхийг заадаг; эхлээд эхний зэрэг, дараа нь дөрвөлжин, заримдаа куб. Дөрвөн зуун жилийн өмнө Италийн эрдэмтэд үүнийг даван туулж чадсан квартик тэгшитгэлгэм зэмгүй мэт харагддаг ч гэсэн:

ба аль нэг элемент

Тийм ээ, эрдэмтэд үүнийг XNUMX-р зуунд аль хэдийн хийж болох байсан. Илүү өндөр түвшний тэгшитгэлийг харгалзан үзсэнийг таахад хэцүү биш юм. Тэгээд юу ч биш. Хоёр зуун жилийн хугацаанд хэн ч амжилтанд хүрээгүй. Нилс Абел ч мөн бүтэлгүйтэв. Тэгээд тэр ... магадгүй энэ нь огт боломжгүй гэдгийг ойлгосон. Үүнийг нотлох боломжтой ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжгүй байдал - өөрөөр хэлбэл шийдлийг энгийн арифметик томъёогоор илэрхийлэх.

Энэ нь 2-ын анхных нь байсан юм. Энэ төрлийн үндэслэлийн он жилүүд (!): ямар нэг зүйл нотлогдохгүй, ямар нэг зүйл хийх боломжгүй. Ийм нотолгооны монополь нь математикт хамаардаг - практик шинжлэх ухаан саад бэрхшээлийг улам бүр эвдэж байна. 1888 онд АНУ-ын Патентийн комиссын дарга "Бараг бүх зүйлийг аль хэдийн зохион бүтээсэн тул ирээдүйд цөөн шинэ бүтээл гарах болно" гэж мэдэгджээ. Өнөөдөр бид үүнийг инээх нь байтугай инээх нь ч хэцүү байна... Харин математикт нэгэнт нотлогдвол энэ нь алдагддаг. Үүнийг хийх боломжгүй.

Түүх миний тодорхойлсон нээлтийг хооронд нь хуваадаг Нилс Абел i Эварист Галуа, хоёулаа XNUMX нас хүрэхээсээ өмнө үе тэнгийнхэн нь дутуу үнэлсээр нас барсан. Ниэлс Абел бол өргөн алдар нэртэй Норвегийн цөөн тооны математикчдын нэг (үнэндээ хоёр, нөгөө нь Софус Ли, 1842-1899 - овог нэр нь Скандинавынх биш, гэхдээ хоёулаа уугуул Норвегичууд байсан).

Норвегичууд Шведчүүдтэй зөрчилддөг - харамсалтай нь энэ нь хөрш зэргэлдээ ард түмний дунд түгээмэл байдаг. Норвегичууд Абелийн шагналыг бий болгох нэг сэдэл нь эх орон нэгтнүүддээ Альфред Нобелийг харуулах хүсэл байв: гуйя, бид үүнээс дордохгүй байна.

Байгаагүй маржин оруулгыг хөөж байна

Энд танд Niels Henrik Abel байна. Одоо шагналын эзэн, 63 настай англи хүн (АНУ-д амьдардаг) тухай. 1993 онд хийсэн түүний эр зоригийг Эверестэд авирсан, саран дээр авирсан эсвэл үүнтэй адилтгаж болох юм. Хэн бэ ноён Эндрю Уайлс? Хэрэв та түүний нийтлэлүүдийн жагсаалт болон янз бүрийн ишлэлийн индексүүдийг харвал тэр сайн эрдэмтэн байх болно - тэдний олон мянган байдаг. Гэсэн хэдий ч түүнийг хамгийн агуу математикчдын нэг гэж үздэг. Түүний судалгаа нь тооны онолтой холбоотой бөгөөд түүнтэй харилцах харилцааг ашигладаг алгебрийн геометр Одоо төлөөллийн онол.

Тэрээр математикийн үүднээс огт ач холбогдолгүй асуудлыг шийдсэнээрээ алдартай болсон Фермагийн сүүлчийн теоремийн баталгаа (юу болж байгааг мэдэхгүй хүн - доор сануулъя). Гэсэн хэдий ч бодит үнэ цэнэ нь шийдэл нь өөрөө биш, харин бусад олон чухал асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигласан туршилтын шинэ аргыг бий болгосон явдал байв.

Энэ үед зарим зүйлийн ач холбогдол, хүн төрөлхтний ололт амжилтын шатлалын талаар эргэцүүлэхгүй байх боломжгүй юм. Хэдэн зуун мянган залуус бөмбөгийг бусдаас илүү сайн өшиглөхийг мөрөөддөг, хэдэн арван мянган залуус Гималайн салхинд өртөхийг, гүүрэн дээрх резинэн дээрээс үсрэхийг, дуулах гэж нэрлэдэг дуу чимээ гаргахыг, бусдад эрүүл бус хоол чихэхийг хүсдэг ... эсвэл хэнд ч хэрэггүй тэгшитгэлийг шийд. Эверестийн анхны байлдан дагуулагч Сэр Эдвард Хиллари, яагаад тэнд очсон гэсэн асуултад шууд хариулав: "Яагаад гэвэл тэр, Эверест байгаа болохоор!" Эдгээр үгсийн зохиогч нь амьдралынхаа туршид математикч байсан, энэ бол миний амьдралын жор юм. Цорын ганц зөв! Гэхдээ энэ философийг дуусгая. Математикийн эрүүл замдаа эргэн орцгооё. Яагаад Фермагийн теоремын талаар шуугиан тарьсан бэ?

Тэд юу болохыг бид бүгд мэднэ гэж бодож байна анхны тоо. "Үндсэн хүчин зүйл болгон задардаг" хэллэгийг хүн бүр ойлгодог, ялангуяа манай хүү цагийг хэсэг болгон хувиргах үед.

Пьер де Ферма (1601-1665) нь Тулузын хуульч байсан ч сонирхогч математикийн чиглэлээр ажиллаж, нэлээд сайн үр дүнд хүрсэн, учир нь тэрээр математикийн түүхэнд тооны онол, шинжилгээний олон теоремыг зохиогчоор бичигдсэн байдаг. Уншсан номныхоо захад өөрийн санал, сэтгэгдлээ бичдэг байсан. Тэгээд яг 1660 онд тэрээр захын нэг хэсэгт ингэж бичжээ.

Энэ бол танд зориулж Пьер де Фермат юм. Түүний үеэс хойш (тэр үед Францад Гаскон язгууртан д'Артаньян амьдарч байсныг, Анжей Кмицич Польшид Богуслав Радзивиллтэй тулалдаж байсныг сануулъя) олон зуун, магадгүй олон мянган том жижиг математикчид сэргээн босгох гэж оролдсон ч бүтэлгүйтсэн. гайхалтай сонирхогчийн алдагдсан үндэслэл. Хэдийгээр өнөөдөр бид Фермагийн нотолгоо үнэн зөв байж чадахгүй гэдэгт итгэлтэй байгаа ч гэсэн энгийн асуулт нь ядаргаатай байв тэгшитгэл xⁿ + yⁿ = dⁿ, n> 2 нь натурал тоонуудын шийдтэй? ийм хэцүү байж болно.

23 оны 1993-р сарын XNUMX-нд ажилдаа ирсэн олон тооны математикчид цахим шуудангаараа (тэр үед шинэхэн, дулаахан шинэ бүтээл байсан) "Британаас ирсэн цуу яриа: Уайлс Ферматыг нотолж байна" гэсэн товчхон мессежийг олжээ. Маргааш нь өдөр тутмын хэвлэлүүд энэ тухай бичиж, Уайлс цуврал лекцүүдийн сүүлчийнх нь хэвлэл, телевиз, гэрэл зургийн сурвалжлагчдыг цуглуулсан нь яг л алдартай хөлбөмбөгчний бага хурлын үеэр болсон юм.

Корнел Макушжинскийн "Долоодугаар ангийн Сатан" зохиолыг уншсан хүн бүр Адас Цисовскийн нээсэн оюутнуудаас асууж лавлах системийг түүхийн профессорын ах ноён Иво Гасовски юу хийснийг санаж байгаа байх. Иво Гасовски зүгээр л Фермагийн тэгшитгэлийг шийдэж, цаг хугацаа, эд хөрөнгөө алдаж, байшингаа үл тоомсорлож байв.

Эцэст нь ноён Иво эрх мэдлийн тухай хуулийн төслүүд гэр бүлийн аз жаргалыг хангахгүй гэдгийг ойлгоод бууж өгсөн. Макушжински шинжлэх ухаанд дургүй байсан ч ноён Гасовскигийн талаар зөв байсан. Иво Гасовски нэг үндсэн алдаа хийсэн. Тэр сайн утгаараа мэргэжилтэн болох гэж оролдсонгүй, харин сонирхогч шиг аашилсан. Эндрю Уайлс бол мэргэжлийн хүн.

Фермагийн сүүлчийн теоремтой тэмцсэн түүх нь сонирхолтой юм. Энгийн тоо болох илтгэгчийн хувьд тэдгээрийг шийдвэрлэхэд хангалттай гэдгийг маш энгийнээр харж болно. n = 3-ын хувьд уусмалыг 1770 онд өгсөн. Леонхард Эйлер, n = 5-ын хувьд Питер Густав Лежен Дирихлет (1828) ба Адриен Мари Лежендре 1830 онд, n = 7 үед - Габриэл Лам 1840 онд. XNUMX-р зуунд Германы математикч ихэнх хүчээ Фермагийн асуудалд зориулжээ Эрнст Эдуард Куммер (1810-1893). Тэрээр эцсийн амжилтанд хүрч чадаагүй ч олон тооны онцгой тохиолдлуудыг баталж, анхны тооны олон чухал шинж чанарыг олж мэдсэн. Орчин үеийн алгебр, онолын арифметик, алгебрийн тооны онолын дийлэнх нь Фермагийн теоремын талаархи Куммерийн бүтээлээс үүдэлтэй.

Фермагийн асуудлыг сонгодог тооны онолын аргаар шийдвэрлэхдээ тэдгээрийг нарийн төвөгтэй байдлын хоёр өөр тохиолдол болгон хуваасан: нэгдүгээрт, xyz үржвэрийг n илтгэгчтэй анхны тоо гэж үзэх үед, хоёрдугаарт, z тоо нь тэнцүү хуваагдах үед. илтгэгч. Хоёр дахь тохиолдолд n = 150, эхний тохиолдолд n = 000 хүртэлх шийдэл байхгүй гэдгийг мэддэг байсан (Lehmer, 6). Энэ нь боломжит сөрөг жишээг ямар ч тохиолдолд боломжгүй гэсэн үг юм: үүнийг олж авахын тулд хэдэн тэрбум оронтой тоо хэрэгтэй болно.

Та бүхэндээ нэгэн хуучны түүхийг хүргэж байна. 1988 оны эхээр энэ нь математикийн ертөнцөд мэдэгдэж байсан Йоити Мияока Зарим тэгш бус байдлыг нотолсон бөгөөд үүнээс дараахь зүйлийг дагав: хэрэв зөвхөн n илтгэгч хангалттай том бол Фермагийн тэгшитгэлд гарц байхгүй. Германы арай өмнөх үр дүнтэй харьцуулахад Герд Фалтингс (1983) Мияокагийн үр дүн нь хэрэв шийдэл байгаа бол (пропорциональ байдлын хувьд) тэдгээрийн зөвхөн хязгаарлагдмал тоо байна гэсэн үг юм. Тиймээс Фермагийн асуудлын шийдэл нь олон тохиолдлын төгсгөлийг жагсаах хүртэл буурдаг. Харамсалтай нь тэдний хэд нь тодорхойгүй байсан: Мияокагийн ашигласан аргууд нь хэд нь аль хэдийн "сайн" болохыг тооцоолох боломжийг олгосонгүй.

Фермагийн теоремыг олон жилийн турш судлах нь цэвэр тооны онолын хүрээнд бус, харин алгебраас гаралтай математикийн шинжлэх ухаан, декарт аналитик геометрийн өргөтгөл болох алгебрийн геометрийн хүрээнд явагдсаныг энд тэмдэглэх нь зүйтэй. бараг хаа сайгүй тархсан: математикийн үндэс (логикийн онолын онол), математик анализ (когомологийн арга, функциональ хэлхээ), сонгодог геометр, онолын физик (вектор багц, мушгиа орон зай, солитон) хүртэл.

Хүндэтгэл хамаагүй байхад

Фермагийн асуудлыг шийдвэрлэхэд оруулсан хувь нэмэр маш их байгаа математикчийн хувь заяанд харамсахгүй байх нь бас хэцүү юм. Би Аракиелын тухай ярьж байнаСурен Юрьевич Аракелов, Армен үндэстэй Украины математикч), 80-аад оны эхээр дөрөв дэх жилдээ байхдаа гэж нэрлэгддэг зүйлийг бүтээсэн. арифметик сортуудын огтлолцлын онол. Ийм гадаргуу нь цоорхой, бүрэн бус байдлаар дүүрэн байдаг бөгөөд тэдгээрийн муруйнууд нь гэнэт алга болж, дараа нь дахин гарч ирдэг. Ийм муруйн огтлолцлын зэргийг хэрхэн тооцоолох талаар огтлолцлын онол тайлбарладаг. Энэ нь Фалтинг, Мияока нарын Фермагийн асуудлыг судлахдаа ашигласан гол хэрэгсэл байсан юм.

Нэгэн удаа Аракеловыг математикийн томоохон конгресст үр дүнгээ танилцуулахаар урьжээ. Гэвч Зөвлөлтийн тогтолцоонд шүүмжлэлтэй ханддаг байсан тул түүнийг явахыг зөвшөөрөөгүй. Удалгүй түүнийг цэрэгт татав. Тэрээр ерөнхийдөө энх тайвныг дэмжсэн шалтгаанаар цэргийн алба хаахыг эсэргүүцэж байгаагаа эрс эсэргүүцсэн. Би нэлээд эргэлзээтэй эх сурвалжаас олж мэдсэнээр түүнийг хаалттай сэтгэцийн эмнэлэгт хүргэсэн бөгөөд тэнд нэг жил орчим хэвтсэн байна. Та бүхний мэдэж байгаагаар улс төрийн зорилгоор Зөвлөлтийн сэтгэцийн эмч нар шизофрени өвчний тусгай хэлбэрийг ялгаж салгаж байсан (англи хэлээр "ховор" гэсэн утгатай. удаан шизофрени).

Миний мэдээллийн эх сурвалж тийм ч найдвартай биш учраас үнэхээр яаж байсныг зуун хувь хэлэхэд хэцүү. Аракелов эмнэлгээс гарсны дараа Загорск дахь хийдэд хэдэн сар суусан бололтой. Тэрээр одоо эхнэр, гурван хүүхдийн хамт Москвад амьдардаг. Тэр математик хийдэггүй. Эндрю Уайлс нэр төр, мөнгөөр ​​дүүрэн.

Тэжээл сайтай Европын нийгмээс харахад энэ алхам бас л ойлгомжгүй Григорий Перелман2002 онд XNUMX-р зууны хамгийн алдартай топологийн асуудлыг шийдсэн хүн.Пунаригийн таамаглалТэгээд тэр боломжит бүх шагналаас татгалзав. Эхлээд математикчид Нобелийн шагналтай дүйцэхүйц гэж үздэг эхэнд дурдсан Филдсийн медаль, дараа нь XNUMX-р зуунаас үлдсэн математикийн долоон чухал асуудлын нэгийг шийдсэн нэг сая долларын шагнал. "Бусад нь илүү байсан, надад гавьяа шагнал огт хамаагүй. Учир нь математик бол миний хобби, надад хоол, тамхи байна" гэж их багагүй гайхшруулсан ертөнцөд хэлэв.

300 гаруй жилийн дараах амжилт

Фермагийн агуу теорем нь математикийн хамгийн алдартай, үр дүнтэй бодлого байсан нь гарцаагүй. Энэ нь гурван зуу гаруй жилийн турш нээлттэй байсан, маш ойлгомжтой, ойлгомжтой байдлаар томъёолсон бөгөөд онолын хувьд хэн ч халдах боломжтой байсан бөгөөд компьютер түгээмэл болсон эрин үед үнэлгээний өөр дээд амжилтыг эвдэх оролдлого харьцангуй хялбар байсан. боломжит шийдлүүд. Математикийн түүхэнд энэ асуудал урам зориг өгөх үүргээрээ маш чухал "соёлыг бүрдүүлэх" үүрэг гүйцэтгэж, математикийн бүхэл бүтэн салбар үүсэхэд хувь нэмэр оруулсан. Асуудал нь өөрөө харьцангуй өчүүхэн бөгөөд Фермагийн тэгшитгэлд үндэс байхгүй тухай мэдээлэл нь математикийн мэдлэгийн ерөнхий сан хөмрөгт тийм ч их хувь нэмэр оруулаагүй тул энэ нь хачирхалтай юм.

1847 онд Габриэль Ламет (1795-1870) Францын Шинжлэх Ухааны Академид лекц уншиж, Фермагийн асуудлын шийдлийг зарлав. Гэсэн хэдий ч үндэслэлийн нарийн алдаа тэр даруй анзаарагдсан. Энэ нь өвөрмөц задралын теоремыг зөвшөөрөлгүй ашиглахад үндэслэсэн. Бид сургуулиасаа тоо бүр нь анхны хүчин зүйлүүдэд өвөрмөц задаргаатай байдаг гэдгийг санаж байна, жишээлбэл, 2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503. 503 тоо нь хуваагчгүй (1 ба 503-аас бусад) тул цаашид өргөтгөх боломжгүй.

Түгээлтийн өвөрмөц байдлын шинж чанарыг эерэг бүхэл тоонууд эзэмшдэг боловч бусад тоон олонлогуудын дунд байх албагүй. Жишээлбэл, тэмдэгтийн дугаарын хувьд

ээж 36 = 2²⋅2³ ,Гэхдээ бас

Ламегийн нотолгоонд дүн шинжилгээ хийснээр Куммер p-ийн зарим илтгэгчийн хувьд Фермагийн таамаглал үнэн болохыг баталж чадсан. Тэр тэднийг ердийн тэргүүнүүд гэж нэрлэсэн. Энэ нь бүрэн нотлох анхны чухал алхам байв. Фермагийн теоремыг тойрсон домог бий болсон. "Эсвэл бүр ч дор юм болов уу - магадгүй та үүнийг шийдэх боломжтой эсвэл боломжгүй гэдгийг баталж чадахгүй байж магадгүй юм уу?"

Гэвч 80-аад оноос хойш хүн бүр зорилго ойрхон байгааг мэдэрсэн. Берлиний хана хэвээр байсаар байгаад би "удалгүй, агшин зуурын" тухай лекц сонсож байснаа санаж байна. За, хэн нэгэн түрүүлж байх ёстой. Эндрю Уайлс лекцээ "Фермат нотолж байна гэж би бодож байна" гэж англи цэрээр төгсгөж, цугласан үзэгчид юу болсныг ойлгох хүртэл хэсэг хугацаа өнгөрөв: 330 жилийн настай математикийн асуудлыг дэлхийн олон зуун математикчид эрчимтэй боловсруулжээ. дэглэмийн өөрөө болон Макушинскийн романы Иво Гонсовский зэрэг тоо томшгүй олон сонирхогчид. Эндрю Уайлс Норвегийн хаан V Харалдтай гар барих нэр хүндтэй байсан. Магадгүй тэр Абелийн шагналын хэдэн зуун мянган еврогийн даруухан тэтгэмжийг анхаарч үзээгүй байж магадгүй - яагаад түүнд ийм их мөнгө хэрэгтэй байна вэ?