урвуу сэтгэл татам

Зөвхөн математикт ч биш "эсрэг талуудын сэтгэл татам" талаар маш их ярьдаг. Эсрэг тоонууд нь зөвхөн тэмдгээр ялгаатай тоонууд гэдгийг санаарай: нэмэх 7 ба хасах 7. Эсрэг тоонуудын нийлбэр нь тэг байна. Гэхдээ бидний хувьд (өөрөөр хэлбэл математикчдад) харилцан үйлчлэл нь илүү сонирхолтой байдаг. Хэрэв тоонуудын үржвэр нь 1-тэй тэнцүү бол эдгээр тоонууд хоорондоо урвуу байна. Тоо бүр эсрэгээрээ, тэгээс бусад тоо бүхэн урвуутай. Харилцааны хариу нь үр юм.

Хоёр хэмжигдэхүүн өөр хоорондоо хамааралтай үед инверси үүсдэг бөгөөд хэрэв нэг нь нэмэгдвэл нөгөө нь харгалзах хурдаар буурдаг. "Холбогдох" гэдэг нь эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн бүтээгдэхүүн өөрчлөгдөхгүй гэсэн үг юм. Бид сургуулиас санаж байна: энэ бол урвуу харьцаа юм. Хэрэв би зорьсон газартаа хоёр дахин хурдан хүрэхийг хүсвэл (жишээ нь, цагийг хоёр дахин багасгах) хурдаа хоёр дахин нэмэгдүүлэх хэрэгтэй. Хийтэй битүүмжилсэн савны эзэлхүүнийг n дахин бууруулбал түүний даралт n дахин нэмэгдэнэ.

Бага боловсролын хувьд бид ялгаатай болон харьцангуй харьцуулалтыг сайтар ялгаж үздэг. "Хэр их"? - "Хэдэн дахин илүү?"

Сургуулийн зарим үйл ажиллагаа энд байна:

1 ажил. Хоёр эерэг утгын эхнийх нь хоёр дахь нь 5 дахин их, нэгэн зэрэг эхнийхээс 5 дахин их байна. Хэмжээ нь юу вэ?

2 ажил. Хэрэв нэг тоо хоёр дахь тооноос 3, хоёр дахь нь гурав дахь тооноос 2 их бол эхний тоо гурав дахь тооноос хэд дахин их вэ? Эхний эерэг тоо хоёр дахь нь хоёр дахин, эхний тоо гурав дахин их бол эхний тоо гурав дахь тооноос хэд дахин их вэ?

3 ажил. 2-р даалгаварт зөвхөн натурал тоог зөвшөөрнө. Тэнд дурдсан шиг ийм зохицуулалт хийх боломжтой юу?

4 ажил. Хоёр эерэг утгын эхнийх нь хоёр дахь нь 5 дахин их, хоёр дахь нь эхнийх нь 5 дахин их байна. Энэ боломжтой юу?

"Дундаж" эсвэл "дундаж" гэсэн ойлголт нь маш энгийн мэт санагддаг. Даваа гаригт 55 км, мягмар гарагт 45 км, лхагва гаригт 80 км дугуй унасан бол өдөрт дунджаар 60 км дугуй унасан. Нэг өдрийн дотор 60 км зам туулж үзээгүй болохоор жаахан хачирхалтай ч гэсэн эдгээр тооцоог бид чин сэтгэлээсээ хүлээн зөвшөөрч байна. Бид нэг хүний ​​хувьцааг хялбархан хүлээж авдаг: хэрэв зургаан өдрийн дотор хоёр зуун хүн ресторанд очвол өдрийн дундаж үнэ 33, гурав дахь хүн байна. Хм!

Зөвхөн дундаж хэмжээтэй холбоотой асуудал гардаг. Би дугуй унах дуртай. Тиймээс би аялал жуулчлалын агентлагийн "Бидэнтэй хамт явцгаая" гэсэн саналыг ашигласан - тэд ачаа тээшээ зочид буудалд хүргэж өгдөг бөгөөд үйлчлүүлэгч нь амралт зугаалгын зориулалтаар дугуй унадаг. Баасан гарагт би дөрвөн цаг явсан: эхний хоёр нь цагт 24 км хурдтай. Дараа нь би маш их ядарсан тул дараагийн хоёр цагт ердөө 16 цагт. Миний дундаж хурд хэд байсан бэ? Мэдээж (24+16)/2=20км=20км/цаг.

Харин бямба гаригт ачаа тээшийг зочид буудалд үлдээгээд 24 км-ийн зайд орших шилтгээний балгасыг үзэхээр очоод харчихаад буцлаа. Би нэг чиглэлд нэг цаг явж, илүү удаан, цагт 16 км хурдтайгаар буцаж ирэв. Зочид буудал-цайз-зочид буудлын чиглэлд миний дундаж хурд ямар байсан бэ? Цагт 20 км? Мэдээж үгүй. Эцсийн эцэст би нийт 48 км замыг туулж, нэг цаг (“тэнд”), буцах цаг хагасын хугацаа зарцуулсан. Хоёр цаг хагасын дотор 48 км, өөрөөр хэлбэл. цаг 48/2,5=192/10=19,2 км! Энэ тохиолдолд дундаж хурд нь арифметик дундаж биш, харин өгөгдсөн утгуудын гармоник юм.

мөн энэ хоёр давхар томьёог дараах байдлаар уншиж болно: эерэг тоонуудын гармоник дундаж нь тэдгээрийн харилцан адилгүй арифметик дундажийн эсрэг утгатай байна. Сургуулийн даалгаврын олон найрал дуунд урвуу талуудын нийлбэрийн эсрэг заалтууд гарч ирдэг: хэрэв нэг ажилчин цаг ухаж, нөгөө нь б цаг, дараа нь хамт ажиллаж, цагтаа ухдаг. усан сан (нэг цагт, нөгөө нь b цагт). Хэрэв нэг резистор нь R1, нөгөө нь R2 байвал тэдгээр нь зэрэгцээ эсэргүүцэлтэй байна. 

Нэг компьютер секундын дотор, өөр компьютер b секундын дотор асуудлыг шийдэж чадвал хамтдаа ажиллахдаа...

Зогс! Энд аналоги төгсдөг, учир нь бүх зүйл сүлжээний хурдаас хамаардаг: холболтын үр ашиг. Ажилчид ч бие биедээ саад болж, тусалж чадна. Нэг хүн найман цагт худаг ухаж чадаж байвал наян ажилчин цагийн 1/10-д (эсвэл 6 минут) ухаж чадах уу? Зургаан портер төгөлдөр хуурыг 6 минутын дотор нэгдүгээр давхарт аваачиж өгвөл аль нэг нь төгөлдөр хуураа жаран давхарт хүргэхэд хэр хугацаа шаардагдах вэ? Ийм бодлогуудын утгагүй байдал нь бүх математикийн "амьдралаас" асуудалд хязгаарлагдмал хэрэглэгдэх боломжийг санагдуулдаг.

Бүхэл бүтэн худалдагчийн тухай 

Жинлүүрийг ашиглахаа больсон. Ийм жингийн нэг аяганд жин тавиад, жигнэж буй барааг нөгөө дээр нь тавьж, жин нь тэнцвэртэй байх үед бараа нь жингийнх нь хэмжээгээр жинтэй байсныг санаарай. Мэдээжийн хэрэг, жингийн ачааллын хоёр гар нь ижил урттай байх ёстой, эс тэгвээс жин нь буруу байх болно.

Тийм ээ. Тэгш бус хөшүүрэгтэй жинтэй худалдагчийг төсөөлөөд үз дээ. Гэсэн хэдий ч тэрээр үйлчлүүлэгчиддээ үнэнч байхыг хүсч, бараагаа хоёр багцаар жигнэж өгдөг. Нэгдүгээрт, тэр жинг нэг хайруулын тавган дээр, нөгөө талд нь тохирох хэмжээний бараа тавьдаг - жин нь тэнцвэртэй байх болно. Дараа нь тэр барааны хоёр дахь "хагас" -ыг урвуу дарааллаар жинлэнэ, өөрөөр хэлбэл жинг хоёр дахь аяганд, барааг эхнийх нь дээр тавьдаг. Гар нь тэгш бус байдаг тул "хагас" нь хэзээ ч тэнцүү байдаггүй. Мөн худалдагчийн мөс чанар нь тодорхой бөгөөд худалдан авагчид түүний үнэнч шударга байдлыг магтдаг: "Би эндээс хассан зүйлээ дараа нь нэмсэн."

Гэсэн хэдий ч, найдваргүй жинтэй байсан ч үнэнч шударга байхыг хүсдэг худалдагчийн зан авирыг нарийвчлан авч үзье. Тэнцвэрийн гар нь a ба b урттай байг. Нэг аяганд килограмм жинтэй, нөгөөд нь х бараа ачсан бол эхний удаад ax = b, хоёр дахь удаагаа bx = a байвал жинлүүр тэнцвэртэй байна. Тиймээс, барааны эхний хэсэг нь b / килограмм, хоёр дахь хэсэг нь a / b байна. Сайн жин нь a = b-тэй тул худалдан авагч 2 кг бараа хүлээн авна. a ≠ b үед юу болохыг харцгаая. Дараа нь a – b ≠ 0 ба багасгасан үржүүлэх томъёоноос бидэнд байна

Бид гэнэтийн үр дүнд хүрэв: энэ тохиолдолд хэмжилтийг "дунджлах" шударга мэт санагдах арга нь илүү их бараа хүлээн авдаг худалдан авагчийн ашиг тусын тулд ажилладаг.

Даалгавар 5. (Математикийн хувьд ямар ч тохиолдолд чухал биш!). Шумуул 2,5 миллиграмм жинтэй, заан таван тонн жинтэй (энэ нь маш зөв мэдээлэл). Шумуул, зааны массын (жин) арифметик дундаж, геометрийн дундаж, гармоник дундажийг тооцоол. Тооцооллыг шалгаж, арифметик дасгалаас гадна ямар нэгэн утга учиртай эсэхийг шалгаарай. "Бодит амьдрал" дээр ямар ч утгагүй математик тооцооллын бусад жишээг харцгаая. Зөвлөмж: Энэ нийтлэлд бид аль хэдийн нэг жишээг авч үзсэн. Интернэтээс олж мэдсэн нэрээ нууцалсан оюутан: "Математик тоогоор хүмүүсийг хуурдаг" гэсэн зөв байсан гэсэн үг үү?

Тийм ээ, математикийн гайхамшигт та хүмүүсийг "тэнэглэж" чадна гэдэгтэй би санал нийлж байна - шампунийн хоёр дахь сурталчилгаа бүр хөвсгөр байдлыг тодорхой хувиар нэмэгдүүлдэг гэж хэлдэг. Гэмт хэргийн үйл ажиллагаанд ашиглаж болох өдөр тутмын хэрэглүүрийн бусад жишээг бид хайх уу?

Грам!

Энэ хэсгийн гарчиг нь нэр үг биш үйл үг (нэгдүгээр хүний ​​олон тоо) юм (килограммын мянганы нэгийн нэрлэсэн олон тоо). Эв найрамдал нь дэг журам, хөгжим гэсэн үг юм. Эртний Грекчүүдийн хувьд хөгжим бол шинжлэх ухааны нэг салбар байсан - хэрэв бид үүнийг хэлэх юм бол "шинжлэх ухаан" гэдэг үгийн одоогийн утгыг манай эриний өмнөх үе рүү шилжүүлсэн гэдгийг хүлээн зөвшөөрөх ёстой. Пифагор МЭӨ XNUMX-р зуунд амьдарч байсан.Тэр зөвхөн компьютер, гар утас, и-мэйл мэддэггүй байсан төдийгүй Роберт Левандовски, Миеско I, Шарлем, Цицерон нар хэн болохыг мэддэггүй байв. Тэрээр араб, тэр байтугай ром тоо ч мэддэггүй байсан (тэдгээр нь МЭӨ XNUMX-р зууны үед хэрэглэгдэж байсан), Пунийн дайн гэж юу байдгийг мэдэхгүй ... Гэхдээ тэр хөгжим мэддэг байсан ...

Чавхдаст хөгжмийн зэмсгүүдийн чичиргээний коэффициент нь чавхдаст чичиргээт хэсгүүдийн урттай урвуу пропорциональ байдгийг тэр мэддэг байв. Тэр мэдэж байсан, тэр мэдэж байсан, тэр зүгээр л өнөөдрийн бидний хийж байгаа арга замаар үүнийг илэрхийлж чадахгүй байна.

Октавыг бүрдүүлдэг хоёр чавхдаст чичиргээний давтамж нь 1:2 харьцаатай, өөрөөр хэлбэл дээд нотын давтамж нь доод талын давтамжаас хоёр дахин их байна. Тав дахь чичиргээний зөв харьцаа нь 2:3, дөрөв дэх нь 3:4, цэвэр гол гурав дахь нь 4:5, бага гурав дахь нь 5:6 байна. Эдгээр нь тааламжтай гийгүүлэгч интервалууд юм. Дараа нь 6: 7 ба 7: 8 чичиргээний харьцаатай хоёр төвийг сахисан, дараа нь үл нийцэх - том аялгуу (8: 9), жижиг аялгуу (9:10) байна. Эдгээр бутархай (харьцаа) нь математикчид (энэ шалтгааны улмаас) гармоник цуваа гэж нэрлэдэг дарааллын дараалсан гишүүдийн харьцаатай адил юм.

нь онолын хувьд хязгааргүй нийлбэр юм. Октавын хэлбэлзлийн харьцааг 2: 4 гэж бичиж, тэдгээрийн хооронд тавны нэгийг тавьж болно: 2: 3: 4, өөрөөр хэлбэл бид октавыг тав, дөрөвт хуваана. Үүнийг математикт гармоник сегментийн хуваалт гэж нэрлэдэг.

Цагаан будаа. 1. Хөгжимчний хувьд: октав АВ-г тав дахь АС-д хуваах.Математикчийн хувьд: Гармоник сегментчилэл

Гармоник цуваа гэх мэт онолын хувьд хязгааргүй нийлбэрийн талаар (дээр) ярихдаа би юу гэсэн үг вэ? Ийм нийлбэр нь ямар ч том тоо байж болох юм, гол зүйл бол бид удаан хугацаанд нэмэх явдал юм. Цөөн, цөөхөн найрлагатай, гэхдээ тэдгээр нь улам бүр нэмэгдсээр байна. Юу давамгайлах вэ? Эндээс бид математикийн анализын талбарт ордог. Энэ нь найрлага нь шавхагдаж байгаа боловч маш хурдан биш юм. Би хангалттай найрлага авснаар дүгнэж болно гэдгийг харуулах болно.

дур зоргоороо том. "Жишээ нь" n = 1024 гэж үзье. Зурагт үзүүлсэн шиг үгсийг бүлэглэе.

Хаалт бүрд үг бүр өмнөх үгээс их байх нь мэдээжийн хэрэг сүүлчийнхээс бусад нь өөртэйгөө тэнцүү байна. Дараах хаалтанд бид 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 512 бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй; хаалт бүрийн нийлбэрийн утга ½-ээс их байна. Энэ бүхэн 5½-ээс их байна. Илүү нарийвчлалтай тооцоо хийвэл энэ дүн ойролцоогоор 7,50918 байна. Их биш, гэхдээ үргэлж, мөн та n-ийг ямар ч томоор авснаар би ямар ч тоог давж чадна гэдгийг харж болно. Энэ нь гайхалтай удаан (жишээлбэл, бид зөвхөн найрлагаараа эхний аравт ордог), гэхдээ хязгааргүй өсөлт нь математикчдыг үргэлж татсаар ирсэн.

Гармоник цувралаар хязгааргүйд хүрэх аялал

Энд нэлээд ноцтой математикийн оньсого байна. Бид 4 × 2 × 1 хэмжигдэхүүнтэй тэгш өнцөгт блокуудыг (тэгш өнцөгт гэж юу гэж хэлэх вэ!) хязгааргүй нийлүүлдэг. Хэд хэдэн (дээр) -ээс бүрдэх системийг авч үзье. зураг. 2 - дөрөв) блокууд, эхнийх нь уртынхаа ½, хоёр дахь нь дээрээс ¼, гурав дахь нь зургаагийн нэгээр налуу байхаар байрлуулсан байна. За, магадгүй үүнийг үнэхээр тогтвортой байлгахын тулд эхний тоосгоныг бага зэрэг хазайлгъя. Тооцооллын хувьд энэ нь хамаагүй.

Цагаан будаа. 2. Хүндийн төвийг тодорхойлох

Эхний хоёр блокоос бүрдэх дүрс (дээрээс нь тоолох) В цэгт тэгш хэмийн төвтэй тул B нь хүндийн төв гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг. Гурван дээд блокоос бүрдэх системийн хүндийн төвийг геометрийн аргаар тодорхойлъё. Энд маш энгийн аргумент байхад хангалттай. Гурван блокийн найрлагыг хоёр дээд хэсэг, гурав дахь доод хэсэг гэж оюун ухаанаараа хуваацгаацгаая. Энэ төв нь хоёр хэсгийн хүндийн төвүүдийг холбосон хэсэгт байрлах ёстой. Энэ анги ямар үед?

Тодорхойлох хоёр арга бий. Эхний хэсэгт бид энэ төв нь гурван блок пирамидын дунд, өөрөөр хэлбэл, хоёр дахь, дунд блоктой огтлолцсон шулуун шугам дээр байх ёстой гэсэн ажиглалтыг ашиглана. Хоёрдахь арга замаар, хоёр дээд блок нь нэг блок №3 (дээд)-ээс хоёр дахин их масстай тул энэ хэсгийн таталцлын төв нь төвтэй харьцуулахад В-ээс хоёр дахин их байх ёстой гэдгийг бид ойлгож байна. Гурав дахь блокийн S. Үүний нэгэн адил бид дараагийн цэгийг олно: бид гурван блокийн олсон төвийг дөрөв дэх блокийн S төвтэй холбодог. Бүхэл системийн төв нь 2-ын өндөрт, сегментийг 1-ээс 3-аар (өөрөөр хэлбэл уртын ¾-аар) хуваах цэг дээр байна.

Бидний бага зэрэг хийх тооцоолол нь Зураг дээр үзүүлсэн үр дүнд хүргэнэ. зураг 3. Дараалсан хүндийн төвүүдийг доод блокийн баруун ирмэгээс дараахь байдлаар арилгана.

Тиймээс пирамидын хүндийн төвийн проекц нь үргэлж суурийн дотор байдаг. Цамхаг хөмрөхгүй. Одоо харцгаая зураг. 3 Тэгээд түр зуур дээрээс нь тав дахь блокыг суурь болгон ашиглая (илүү тод өнгөөр ​​тэмдэглэсэн). Дээд талын налуу:

Тиймээс түүний зүүн ирмэг нь суурийн баруун ирмэгээс 1 зайд байна. Дараах савлуур энд байна:

Хамгийн том савлуур юу вэ? Бид аль хэдийн мэдсэн! Хамгийн агуу гэж байхгүй! Хамгийн жижиг блокуудыг ч гэсэн та нэг километрийн зайд гарах боломжтой - харамсалтай нь зөвхөн математикийн хувьд: Дэлхий бүхэлдээ ийм олон блок барихад хангалтгүй байх болно!

Цагаан будаа. 3. Илүү олон блок нэмнэ

Одоо бидний дээр үлдээсэн тооцоо. Бид бүх зайг x тэнхлэг дээр "хэвтээ" байдлаар тооцоолох болно, учир нь үүнд л хангалттай. А цэг (эхний блокийн хүндийн төв) баруун ирмэгээс 1/2 байна. В цэг (хоёр блок системийн төв) хоёр дахь блокийн баруун ирмэгээс 1/4 зайд байна. Эхлэх цэг нь хоёр дахь блокийн төгсгөл байх болтугай (одоо бид гурав дахь хэсэгт шилжих болно). Жишээлбэл, №3 блокийн хүндийн төв хаана байдаг вэ? Энэ блокийн уртын тал хувь нь бидний лавлах цэгээс 1/2 + 1/4 = 3/4 байна. С цэг хаана байдаг вэ? 3/4 ба 1/4-ийн хоорондох сегментийн гуравны хоёрт, өөрөөр хэлбэл өмнөх цэг дээр бид лавлах цэгийг гурав дахь блокийн баруун ирмэг рүү шилжүүлнэ. Гурван блок системийн хүндийн төвийг одоо шинэ лавлах цэгээс хассан гэх мэт. Хүндийн төв C_n n блокоос бүрдэх цамхаг нь агшин зуурын лавлах цэгээс 1/2н зайд байрладаг ба энэ нь үндсэн блокийн баруун ирмэг буюу дээрээс n-р блок юм.

Нэгэнт харилцан адилгүй цуваа зөрүүтэй байдаг тул бид ямар ч том өөрчлөлтийг авч болно. Энэ үнэхээр хэрэгжиж чадах уу? Энэ нь эцэс төгсгөлгүй тоосгон цамхаг шиг - эрт орой хэзээ нэгэн цагт өөрийн жин дор нурах болно. Манай схемд блокуудыг байрлуулах хамгийн бага алдаа (мөн цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрийн өсөлт удаан) нь бид тийм ч хол явахгүй гэсэн үг юм.