Геометрийн зам, шугуй

Энэ нийтлэлийг бичиж байхдаа би Ян Пиетрзакийн маш хуучны дууг санав. Түүний егөөдлийн үйл ажиллагаа явуулахын өмнө Под Эгидагийн кабаретад дуулж байсан нь Бүгд Найрамдах Польш Ард Улсад аюулгүйн хавхлага гэж хүлээн зөвшөөрөгдсөн; системийн парадоксуудыг хараад үнэн сэтгэлээсээ инээж болно. Зохиолч энэ дуундаа социалист улс төрийн оролцоог санал болгож, улс төрөөс ангид байхыг хүсэгчдийг шоолж, сониныхоо радиог хаасан байна. "Сургуульдаа буцаж уншсан нь дээр" гэж тэр үеийн XNUMX настай Петшак ёжтой дуулав.

Би ном уншаад сургуульдаа буцаж байна. Би Щепан Еленскийн (1881-1949) "Лилавати" номыг дахин уншиж байна (анхны удаа биш). Цөөхөн уншигчдын хувьд энэ үг өөрөө ямар нэг зүйлийг хэлдэг. Энэ бол Бхаскара (1114-1185) гэгддэг Хиндугийн алдарт математикч Акариа буюу алгебрийн тухай номоо ийм нэрээр нэрлэсэн мэргэний охины нэр юм. Дараа нь Лилавати өөрөө алдартай математикч, философич болжээ. Бусад эх сурвалжийн мэдээлснээр тэр энэ номыг өөрөө бичсэн байна.

Щепан Еленский математикийн номондоо ижил нэр өгсөн (анхны хэвлэл, 1926). Энэ номыг математикийн бүтээл гэж нэрлэхэд хэцүү байж магадгүй - энэ нь олон тооны оньсого байсан бөгөөд франц эх сурвалжаас ихэвчлэн дахин бичсэн (орчин үеийн утгаар зохиогчийн эрх байхгүй байсан). Ямар ч байсан олон жилийн турш энэ нь Польшийн математикийн цорын ганц алдартай ном байсан - хожим нь Еленскийн хоёр дахь ном болох Пифагорын амттангууд түүнд нэмэгдсэн. Тиймээс математик сонирхдог залуучуудад (би урьд нь яг ийм байсан) сонгох зүйлгүй байсан ...

нөгөөтэйгүүр "Лилавати"-г бараг цээжээр мэддэг байх ёстой байсан... Аа, үе ч байсан... Тэдний хамгийн том давуу тал нь би ... тэр үед өсвөр насны хүүхэд байсан. Өнөөдөр би сайн боловсролтой математикчийн үүднээс Лилаватиг огт өөр нүдээр хардаг - магадгүй Шпигласова Пшеленч хүртэлх замын гулзайлт дээрх уулчин шиг. Нэг нь ч, нөгөө нь ч сэтгэл татам байдлаа алддаггүй ... Хувийн амьдралдаа үндэсний үзэл гэж нэрлэгддэг Щепан Еленский өөрийн өвөрмөц хэв маягаараа оршилдоо:

Үндэсний шинж чанаруудын тодорхойлолтыг хөндөхгүйгээр би Еленскийн математикийн тухай хэлсэн ерэн жилийн дараа ч гэсэн ач холбогдлоо алдаагүй гэж хэлье. Математик таныг бодохыг заадаг. Энэ бол баримт юм. Бид танд өөрөөр, илүү энгийн, илүү сайхан сэтгэхийг зааж чадах уу? Байж магадгүй. Зүгээр л... бид чадахгүй хэвээр байна. Би математикийн хичээл хийхийг хүсдэггүй оюутнууддаа энэ нь бас тэдний оюун ухааныг шалгадаг гэж тайлбарладаг. Хэрэв та үнэхээр энгийн математикийн онолыг сурч чадахгүй бол... магадгүй таны оюун ухааны чадвар бид хоёрын хүссэнээс ч дор байж магадгүй...?

Элсэн дээрх тэмдгүүд

Францын гүн ухаантан Жозеф де Майстрийн (1753-1821) дүрсэлсэн түүх болох "Лилавати" зохиолын анхны түүх энд байна.

Сүйрсэн хөлөг онгоцноос далайчин хүн оршин суудаггүй гэж үзсэн хоосон эрэг рүү давалгаагаар шидсэн. Гэнэт эргийн элсэнд хэн нэгний өмнө зурсан геометрийн дүрсний ул мөрийг олж харав. Тэр үед тэр арал эзгүй гэдгийг ойлгосон!

Де Местригийн эш татсан Еленский: геометрийн зурагЭнэ нь азгүй, сүйрсэн хөлөг онгоц, санамсаргүй тохиолдлыг илэрхийлсэн хэлгүй үг байх байсан, гэвч тэр түүнд харьцах харьцаа, тоог харуулсан бөгөөд энэ нь гэгээрсэн хүнийг зарлав. Түүхийн хувьд маш их.

Далайчин ижил хариу үйлдэл үзүүлэх болно гэдгийг анхаарна уу, жишээлбэл, K үсэг зурах, ... болон хүний ​​оршихуйн бусад ул мөр. Энд геометрийг хамгийн тохиромжтой болгосон.

Гэсэн хэдий ч одон орон судлаач Камилла Фламмарион (1847-1925) соёл иргэншлүүд геометрийн тусламжтайгаар алсаас бие биетэйгээ мэндчилдэг гэж санал болгосон. Тэрээр харилцаа холбоо тогтоох цорын ганц зөв бөгөөд боломжит оролдлогыг эндээс олж харсан. Ийм Ангарагчуудад Пифагорын гурвалжинг үзүүлье... тэд бидэнд Фалесаар хариулах болно, бид тэдэнд Вьетнам хээгээр хариулах болно, тэдний тойрог нь гурвалжинд багтах болно, тиймээс нөхөрлөл эхэлсэн ...

Жюль Верн, Станислав Лем зэрэг зохиолчид энэ санаа руугаа буцаж ирэв. Мөн 1972 онд геометрийн (зөвхөн биш) хээтэй хавтангуудыг сансар огторгуйг дайран өнгөрдөг Пионерийн датчик дээр байрлуулсан бөгөөд одоо биднээс бараг 140 одон орны нэгж (1 I нь Дэлхийгээс дэлхийн дундаж зай) юм. . Нар, өөрөөр хэлбэл 149 сая км). Хавтанцарыг зарим талаараа харь гаригийн соёл иргэншлийн талаарх маргаантай дүрмийг бүтээгч одон орон судлаач Фрэнк Дрейк зохион бүтээжээ.

Геометр бол гайхалтай. Энэ шинжлэх ухааны гарал үүслийн талаархи ерөнхий үзэл бодлыг бид бүгд мэднэ. Бид (хүмүүс бид) хамгийн ашигтай зорилгоор газрыг (мөн дараа нь газрыг) хэмжиж эхлээд байна. Зайг тодорхойлох, шулуун шугам зурах, зөв ​​өнцгийг тэмдэглэх, эзлэхүүнийг тооцоолох нь аажмаар зайлшгүй шаардлагатай болсон. Тиймээс бүх зүйл геометр ("Дэлхийн хэмжилт"), тиймээс бүх математик ...

Гэсэн хэдий ч шинжлэх ухааны түүхийн энэхүү тод дүр зураг хэсэг хугацаанд биднийг бүрхэг болгов. Учир нь хэрэв математик зөвхөн үйл ажиллагааны зорилгоор хэрэгтэй байсан бол бид энгийн теоремуудыг батлах ажилд оролцохгүй байх байсан. Хэд хэдэн тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенузын квадратуудын нийлбэр нь гипотенузын квадраттай тэнцүү байгааг шалгасны дараа "Энэ нь үнэн байх ёстойг та харж байна" гэж хэлэх болно. Яагаад ийм формализм вэ?

Чавганы бялуу амттай байх ёстой, компьютерийн програм ажиллах ёстой, машин ажиллах ёстой. Хэрэв би торхны багтаамжийг гучин удаа тоолж, бүх зүйл эмх цэгцтэй байгаа бол өөр юу гэж?

Энэ хооронд эртний Грекчүүдэд албан ёсны нотлох баримтыг олох хэрэгтэй гэж бодсон.

Тэгэхээр математик Фалесаас (МЭӨ 625-547) эхэлдэг. Яагаад гэдгийг нь Милет гэж гайхаж эхэлсэн гэж таамаглаж байна. Ухаантай хүмүүст юм үзсэн, ямар нэг зүйлд итгэлтэй байх нь хангалтгүй. Тэд таамаглалаас дипломын ажил хүртэлх аргументуудын логик дараалал болох нотлох хэрэгцээг олж харсан.

Тэд бас илүү ихийг хүсч байсан. Биеийн юмс үзэгдлийг бурханлаг оролцоогүйгээр байгалийн жамаар тайлбарлахыг анх оролдсон хүн нь Фалес байж магадгүй юм. Европын философи нь байгалийн философиос эхэлсэн - физикийн ард байгаа зүйлээс (тиймээс нэр нь: метафизик). Харин Европын онтологи, байгалийн философийн үндсийг Пифагорчууд (Пифагор, МЭӨ 580-500 он орчим) тавьсан.

Тэрээр Апеннины хойгийн өмнөд хэсэгт орших Кротон хотод өөрийн сургуулиа байгуулсан - өнөөдөр бид үүнийг сект гэж нэрлэх болно. Шинжлэх ухаан (одоогийн утгаар), ид шид, шашин, уран зөгнөл бүгд хоорондоо нягт холбоотой. Томас Манн "Доктор Фауст" роман дээр Германы гимнастикийн математикийн хичээлийг маш сайхан харуулсан. Мария Курецкая, Витольд Вирпша нарын орчуулсан энэ хэсэг нь:

Чарльз ван Дорены "Түүхийн үүрээс өнөөг хүртэлх мэдлэгийн түүх" хэмээх сонирхолтой номноос би маш сонирхолтой үзэл бодлыг олсон. Нэг бүлэгт зохиолч Пифагорын сургуулийн ач холбогдлыг дүрсэлсэн байдаг. Энэ бүлгийн гарчиг нь миний сэтгэлийг хөдөлгөв. Үүнд: "Математикийн шинэ бүтээл: Пифагорчууд" гэж бичсэн байдаг.

Математикийн онолыг нээж байна уу (жишээ нь үл мэдэгдэх газар нутаг) эсвэл зохион бүтээж байна уу (жишээ нь өмнө нь байгаагүй машинууд гэх мэт) бид байнга ярилцдаг. Зарим бүтээлч математикчид өөрсдийгөө судлаач, зарим нь зохион бүтээгч эсвэл зохион бүтээгч гэж үздэг бол эсрэгээрээ бага байдаг.

Гэхдээ энэ номын зохиогч ерөнхийдөө математикийн шинэ бүтээлийн талаар бичжээ.

Хэтрүүлэлээс төөрөгдөл хүртэл

Энэ урт танилцуулга хэсгийн дараа би хамгийн эхэнд шилжих болно. геометргеометрт хэт найдах нь эрдэмтнийг хэрхэн төөрөгдүүлж болохыг тайлбарлах. Иоганнес Кеплер нь селестиел биетүүдийн хөдөлгөөний гурван хуулийг нээсэн гэдгээрээ физик, одон орон судлалд алдартай. Нэгдүгээрт, нарны аймгийн гариг ​​бүр нарыг тойрон зууван тойрог замаар хөдөлдөг бөгөөд тэдгээрийн нэг голомт нь нар байдаг. Хоёрдугаарт, нарнаас татсан гаригийн тэргүүлэх туяа тогтмол давтамжтайгаар ижил талбаруудыг татдаг. Гуравдугаарт, Нарны эргэн тойрон дахь гаригийн эргэлтийн үеийн квадратыг түүний тойрог замын хагас гол тэнхлэгийн шоо (өөрөөр хэлбэл Нарнаас дундаж зай) хүртэлх харьцаа нь нарны аймгийн бүх гаригуудын хувьд тогтмол байна.

Магадгүй энэ нь гурав дахь хууль байсан байж магадгүй - үүнийг тогтоохын тулд маш их өгөгдөл, тооцоолол шаардлагатай байсан нь Кеплерийг гаригуудын хөдөлгөөн, байрлал дахь хэв маягийг үргэлжлүүлэн хайхад хүргэсэн. Түүний шинэ "нээлт"-ийн түүх маш сургамжтай. Эрт дээр үеэс бид ердийн олон өнцөгтийг биширсээр ирсэн төдийгүй сансар огторгуйд зөвхөн тав нь байдаг гэсэн аргументуудыг биширдэг. Гурван хэмжээст олон өнцөгтийн нүүр нь ижил тэгш өнцөгт бөгөөд орой бүр нь ижил тооны ирмэгтэй бол түүнийг тогтмол гэж нэрлэдэг. Тодруулж хэлбэл, ердийн олон өнцөгтийн булан бүр нь "ижил харагдах" ёстой. Хамгийн алдартай олон өнцөгт бол шоо юм. Хүн бүр жирийн шагай харсан.

Ердийн тетраэдрийг тийм ч сайн мэддэггүй бөгөөд сургуульд үүнийг ердийн гурвалжин пирамид гэж нэрлэдэг. Энэ нь пирамид шиг харагдаж байна. Үлдсэн гурван ердийн олон талт нь тийм ч сайн мэддэггүй. Шоо дөрвөлжин ирмэгийн төвүүдийг холбоход октаэдр үүсдэг. Додекаэдр ба икосаэдр аль хэдийн бөмбөг шиг харагдаж байна. Зөөлөн арьсаар хийсэн тул тэд ухахад тухтай байх болно. Платоны таван цул биетээс өөр ердийн олон талт бүтэц байхгүй гэсэн үндэслэл нь маш сайн. Нэгдүгээрт, хэрэв бие нь тогтмол бол ижил тооны (q) ижил тэгш олон өнцөгт орой бүр дээр нийлэх ёстой, эдгээр нь p өнцөг байх ёстой гэдгийг бид ойлгож байна. Одоо бид ердийн олон өнцөгт дэх өнцөг гэж юу болохыг санах хэрэгтэй. Хэрэв хэн нэгэн сургуулиасаа санахгүй байгаа бол бид хэрхэн зөв загварыг олохыг танд сануулж байна. Бид булан тойрох аялал хийсэн. Орой бүр дээр бид ижил өнцгөөр эргэдэг a. Бид олон өнцөгтийг тойроод гарааны цэг рүү буцаж ирэхэд бид p ийм эргэлт хийсэн бөгөөд нийтдээ 360 градус эргэв.

Гэхдээ α нь бидний тооцоолохыг хүсч буй өнцгийн 180 градусын нэмэлт бөгөөд тиймээс ч мөн

Бид жирийн олон өнцөгтийн өнцгийн томьёог (математикч хэлэхдээ: өнцгийн хэмжүүр гэж хэлэх болно) олсон. Шалгаж үзье: p = 3 гурвалжинд a байхгүй

Үүн шиг. p = 4 (дөрвөлжин) үед

зэрэг нь ч зүгээр.

Пентагоны хувьд бид юу авах вэ? q олон өнцөгт байх үед юу болох вэ, p бүр ижил өнцөгтэй

 нэг орой дээр градус буурах уу? Хэрэв энэ нь хавтгай дээр байсан бол өнцөг үүсэх болно

градус ба 360 градусаас их байж болохгүй - учир нь олон өнцөгтүүд давхцдаг.

Гэсэн хэдий ч эдгээр олон өнцөгтүүд орон зайд нийлдэг тул өнцөг нь бүтэн өнцгөөс бага байх ёстой.

Эндээс бүх тэгш бус байдал гарч ирдэг.

Үүнийг 180-д хувааж, хоёр хэсгийг p-ээр үржүүл, дарааллаар (p-2) (q-2) < 4. Дараа нь юу гарах вэ? p ба q нь натурал тоо байх ёстой бөгөөд p > 2 (яагаад? Тэгээд p гэж юу вэ?) мөн q > 2 гэдгийг ойлгоцгооё. Хоёр натурал тооны үржвэрийг 4-өөс бага болгох олон арга байхгүй. Бид бүгдийг нь 1-р хүснэгтэд жагсаана.

Би зураг нийтэлдэггүй, хүн бүр эдгээр дүрсийг интернетээс харж болно ... Интернетээс ... Би уянгын ухралтаас татгалзахгүй - магадгүй энэ нь залуу уншигчдад сонирхолтой байх болно. 1970 онд би семинар дээр үг хэлж байсан. Сэдэв хэцүү байсан. Би бэлдэх зав багатай, орой суудаг байсан. Үндсэн нийтлэлийг зөвхөн унших боломжтой газар байрлуулсан. Энэ газар тухтай, ажлын уур амьсгалтай, долоон цагт хаагдсан. Дараа нь сүйт бүсгүй (одоо миний эхнэр) надад нийтлэлийг бүхэлд нь дахин бичихийг санал болгов: арав орчим хэвлэсэн хуудас. Би үүнийг хуулсан (үгүй ээ, шунхтай үзгээр биш, бүр үзэгтэй байсан), лекц амжилттай болсон. Өнөөдөр би аль хэдийн хуучирсан энэ хэвлэлийг хайж олохыг оролдсон. Би зөвхөн зохиогчийн нэрийг санаж байна ... Интернет дэх хайлтууд удаан үргэлжилсэн ... бүтэн арван таван минут. Инээмсэглэн, бага зэрэг үндэслэлгүй харамсаж бодож байна.

Бид буцаж ирдэг Кеплер ба геометр. Платон дэлхийг бүхэлд нь хамарсан нэгдмэл зүйл дутагдаж байсан тул тав дахь тогтмол хэлбэр оршин тогтнохыг урьдчилан таамагласан бололтой. Тийм ч учраас тэр нэгэн оюутанд (Theajtet) түүнийг хайхыг зааварласан байх. Энэ нь ямар байсан, тийм ч байсан, үүний үндсэн дээр додекаэдр нээгдэв. Бид энэ хандлагыг Платоны пантеизм гэж нэрлэдэг. Ньютон хүртэл бүх эрдэмтэд үүнд их бага хэмжээгээр бууж өгсөн. Маш оновчтой XNUMX-р зуунаас хойш түүний нөлөө эрс багассан хэдий ч бид бүгдээрээ нэг талаараа үүнд автсанаас ичиж болохгүй.

Кеплерийн нарны аймаг байгуулах үзэл баримтлалд бүх зүйл зөв, туршилтын өгөгдөл нь онолтой давхцаж, онол нь логик уялдаатай, маш үзэсгэлэнтэй ... гэхдээ бүрэн худал байв. Түүний үед Буд, Сугар, Дэлхий, Ангараг, Бархасбадь, Санчир гэсэн зургаан гариг ​​л мэдэгдэж байсан. Яагаад зөвхөн зургаан гариг ​​байдаг вэ? гэж Кеплер асуув. Тэдний нарнаас хол зайг ямар зүй тогтол тодорхойлдог вэ? Тэр бүх зүйл холбоотой гэж үзсэн, тэр геометр ба космогони хоорондоо нягт холбоотой байдаг. Эртний Грекчүүдийн бичээсээс тэрээр ердөө таван энгийн олон талт хэлбэртэй болохыг мэддэг байв. Тэрээр зургаан тойрог замын хооронд таван хоосон зай байгааг харав. Тэгэхээр эдгээр чөлөөт орон зай бүр нь ердийн олон өнцөгттэй тохирч магадгүй юм болов уу?

Хэдэн жилийн ажиглалт, онолын ажил хийснийхээ дараа тэрээр дараахь онолыг бий болгож, түүний тусламжтайгаар тойрог замын хэмжээсийг маш нарийн тооцоолж, 1596 онд хэвлэгдсэн "Mysterium Cosmographicum" номондоо танилцуулсан: Аварга том бөмбөрцгийг төсөөлөөд үз дээ. диаметр нь нарны эргэн тойронд жил бүр хийх мөнгөн усны тойрог замын диаметр юм. Дараа нь энэ бөмбөрцөг дээр ердийн октаэдр, дээр нь бөмбөрцөг, дээр нь икосаэдр, дээр нь дахин бөмбөрцөг, үүн дээр хоёр талт, түүн дээр өөр бөмбөрцөг, үүн дээр тетраэдр, дараа нь дахин бөмбөрцөг, шоо байна гэж төсөөлөөд үз дээ. эцэст нь энэ шоо дээр бөмбөгийг дүрсэлсэн болно.

Кеплер эдгээр дараалсан бөмбөрцгийн диаметр нь бусад гаригуудын тойрог замуудын диаметр гэж дүгнэсэн: Буд, Сугар, Дэлхий, Ангараг, Бархасбадь, Санчир. Онол нь маш зөв юм шиг санагдсан. Харамсалтай нь энэ нь туршилтын өгөгдөлтэй давхцсан. Туршилтын өгөгдөл эсвэл ажиглалтын өгөгдөлтэй, ялангуяа "тэнгэрээс авсан"-тай нийцэхээс илүү математикийн онолын үнэн зөвийг нотлох илүү сайн нотолгоо гэж юу вэ? Би эдгээр тооцоог 2-р хүснэгтэд нэгтгэн харуулав. Тэгэхээр Кеплер юу хийсэн бэ? Тохиргоо (бөмбөрцгийн дараалал) болон тооцоолол нь ажиглалтын өгөгдөлтэй давхцах хүртэл би хичээж, оролдсон. Орчин үеийн Кеплерийн тоо, тооцоог энд үзүүлэв.

Онолын сэтгэл татам байдалд автаж, семинарын чимээгүй байдалд хийсэн тооцоолол биш, харин тэнгэр дэх хэмжилтүүд буруу байна гэж итгэж болно. Харамсалтай нь өнөөдөр бид дор хаяж есөн гариг ​​байдгийг мэдэж байгаа бөгөөд үр дүнгийн бүх давхцал нь зүгээр л тохиолдлын зүйл гэдгийг бид мэднэ. Харамсалтай. Энэ үнэхээр үзэсгэлэнтэй байсан ...