Тэгшитгэл, код, шифр, математик, яруу найраг

Михал Шурек өөрийнхөө тухай “Би 1946 онд төрсөн. Би 1968 онд Варшавын их сургуулийг төгсөөд түүнээс хойш Математик, мэдээлэл зүй, механикийн факультетэд ажиллаж байна. Шинжлэх ухааны чиглэл: алгебрийн геометр. Саяхан би вектор багцуудыг авч үзсэн. Вектор туяа гэж юу вэ? Тиймээс, векторуудыг утастай нягт холбох хэрэгтэй бөгөөд бид аль хэдийн багцалсан байна. Миний физикч найз Энтони Сим намайг Залуу техникчд элсүүлэв (тэр миний төлбөрөөс роялти авах ёстой гэдгээ хүлээн зөвшөөрсөн). Би хэд хэдэн нийтлэл бичээд үлдсэн, 1978 оноос хойш та бүхэн сар бүр математикийн талаар юу бодож байгааг уншиж болно. Би ууланд дуртай, илүүдэл жинтэй байсан ч алхахыг хичээдэг. Багш нар хамгийн чухал гэж би боддог. Би улстөрчдийг ямар ч сонголттой байсан, тэднийг зугтаж чадахгүй хатуу хамгаалалттай газар байлгана. Өдөрт нэг удаа хоолло. Тулекийн нэгэн нохой надад таалагддаг.

Тэгшитгэл нь математикчийн хувьд шифртэй адил юм. Математикийн гол зүйл болох тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь шифрлэгдсэн текстийг унших явдал юм. Үүнийг XNUMX-р зууны үеэс теологичид анзаарсан. Математикийг мэддэг Иоанн Павел II энэ тухай номлолдоо хэд хэдэн удаа бичиж, дурдсан байдаг - харамсалтай нь миний ой санамжаас баримтууд арчигдаж байсан.

Сургуулийн шинжлэх ухаанд үүнийг төлөөлдөг Пифагорууд тэгш өнцөгт гурвалжин дахь зарим хамаарлын тухай теоремын зохиогчийн хувьд. Тиймээс энэ нь манай евроцентрик философийн нэг хэсэг болсон. Гэсэн хэдий ч Пифагор илүү олон буянтай байдаг. Тэр л шавь нартаа "энэ толгодын ард юу байгаа юм бэ?"-ээс эхлээд "дэлхийг таних" үүрэг даалгавар өгсөн. оддыг судлахын өмнө. Тийм ч учраас европчууд эртний соёл иргэншлийг "нээсэн" ба эсрэгээрээ биш юм.

Зарим уншигчид санаж байнаВиет хэв маягба"; Хуучин олон уншигчид энэ нэр томъёог сургуулиасаа санаж, асуулт нь квадрат тэгшитгэлд гарч байсныг ойролцоогоор санаж байна. Эдгээр зүй тогтол нь "үзэл суртлын хувьд" шифрлэлт мэдээлэл.

Гайхах зүйлгүй Франсуа Вьетнам (1540-1603) IV Генригийн (1553-1610 онд Бурбон гүрний анхны Францын хаан) ордонд криптографийн чиглэлээр ажиллаж байсан бөгөөд Францтай хийсэн дайнд Британичуудын хэрэглэж байсан шифрийг задалж чаджээ. Тиймээс тэрээр Дэлхийн XNUMX-р дайны өмнө Германы Enigma шифрлэлтийн машины нууцыг нээсэн Польшийн математикчидтай (Мариан Режевски тэргүүтэй) ижил үүрэг гүйцэтгэсэн.

загварын сэдэв

Яг. "Код ба шифр" сэдэв нь заах моод болоод удаж байна. Би энэ талаар хэд хэдэн удаа бичсэн бөгөөд хоёр сарын дараа дахин цуврал гарах болно. Энэ удаад би 1920 оны дайны тухай киноны сэтгэгдлээр бичиж байна, тэр үед тухайн үеийн залуу үеийнхэн тэргүүтэй баг большевик цэргүүдийн дүрмийг эвдсэний үр дүнд ялалт голлон нөлөөлсөн юм. Вацлав Сиерпински (1882-1969). Үгүй ээ, энэ нь одоохондоо оньсого биш, зүгээр л танилцуулга юм. Киноны нэг хэсгийг би санаж байна: Юзеф Пилсудски (Данил Олбрычскигийн дүрд) шифрийн хэлтсийн даргад хандан:

Шифрлэгдсэн зурвасууд нь Тухачевскийн цэргүүд дэмжлэг авахгүй гэсэн чухал мессежийг агуулсан байв. Та дайрч чадна!

Би Вацлав Сиерпинскиг мэддэг байсан (хэрэв би тэгж хэлэх юм бол: Би залуу оюутан байсан, тэр алдартай профессор байсан), түүний лекц, семинарт оролцдог байсан. Садар самуун, сахилга батын ажилдаа завгүй, нөгөө ертөнцийг харахгүй гандаж унасан эрдэмтний сэтгэгдэл төрүүлэв. Тэр тусгайлан лекц уншсан, самбарын өмнө харж, үзэгчид рүү харалгүй ... гэхдээ өөрийгөө гайхалтай мэргэжилтэн мэт санагдав. Нэг ёсондоо тэрээр математикийн тодорхой чадвартай байсан - жишээлбэл, асуудал шийдвэрлэх. Бусад хүмүүс байдаг - оньсого шийдвэрлэхдээ харьцангуй муу, гэхдээ бүхэл бүтэн онолыг гүн гүнзгий ойлгодог, бүтээлч бүхэл бүтэн салбарыг эхлүүлэх чадвартай эрдэмтэд. Бидэнд хоёулаа хэрэгтэй - эхнийх нь илүү хурдан хөдөлнө.

Вацлав Сиерпински 1920 онд гаргасан амжилтынхаа талаар огт ярьж байгаагүй. 1939 он хүртэл үүнийг нууцлах ёстой байсан бөгөөд 1945 оноос хойш Зөвлөлт Оростой тулалдаж байсан хүмүүс тухайн үеийн эрх баригчдын өрөвдөх сэтгэлийг хүлээгээгүй. Эрдэмтэд арми шиг хэрэгтэй гэсэн миний итгэл үнэмшил "ямар ч тохиолдолд" батлагдсан. Ерөнхийлөгч Рузвельт Эйнштэйнийг ингэж дуудаж байна.

Оросын нэрт математикч Игорь Арнольд дайн нь математик, физикийн хөгжилд асар их нөлөө үзүүлсэн гэж илэн далангүй, гунигтай хэлэв (радар, GPS нь цэргийн гаралтай байсан). Би атомын бөмбөг ашиглах ёс суртахууны тал руу орохгүй байна: энд дайныг нэг жилээр сунгаж, хэдэн сая цэрэг амиа алдсан - гэм зэмгүй энгийн иргэдийн зовлон зүдгүүр энд байна.

***

Би танил тал руугаа зугтаж байна - k. Бидний олонх нь кодоор тоглодог байсан, магадгүй скаутын, магадгүй яг тийм. Үсгийг өөр үсэг эсвэл өөр тоогоор солих зарчим дээр суурилсан энгийн шифрүүд нь зөвхөн цөөн хэдэн сэжүүр олж авбал (жишээлбэл, бид хааны нэрийг таамагладаг) байнга эвдэрдэг. Статистикийн дүн шинжилгээ нь өнөөдөр ч тусалдаг. Хамгийн муу нь, бүх зүйл өөрчлөгдөх үед. Гэхдээ хамгийн муу зүйл бол тогтмол биш байх явдал юм. Сайн цэрэг Швейкийн адал явдалт өгүүлсэн кодыг авч үзье. Жишээлбэл, "Үер" номыг ав. Эхний болон хоёр дахь хуудсан дээрх зөвлөмжүүд энд байна.

Бид "CAT" гэсэн үгийг кодлохыг хүсч байна. Бид 1-р хуудас болон дараагийн секундэд нээгдэнэ. 1-р хуудсанд К үсэг эхлээд 59-р байранд байгааг бид олж мэдэв. Бид тавин ес дэх үгийг эсрэг талд, нөгөө талд нь олдог. Энэ бол "а" үг юм. Одоо О үсэг зүүн талд 16 дахь үг, баруун талд арван зургаа дахь үг "Ноён." Т үсэг 95-д, хэрэв би зөв тоолвол баруун талын ерэн тав дахь үг нь "о". Тиймээс, CAT = 1 ЭЗЭН О.

Шифрлэлт болон ... таамаглахад маш удаан боловч "таагдашгүй" шифр. Бид M үсгийг дамжуулахыг хүсч байна гэж бодъё. Бид үүнийг "Wołodyjowski" гэсэн үгээр кодлосон эсэхийг шалгаж болно. Тэгээд бидний дараа тэд аль хэдийн шоронгийн өрөөг бэлдэж байна. Бид зөвхөн орлуулалтанд найдаж болно! Нэмж дурдахад, сөрөг тагнуулын ажилтнууд хэсэг хугацаанд үйлчлүүлэгчид "Үер" номын эхний ботийг дуртайяа худалдаж авсан гэсэн нууц ажилтнуудын мэдээг тэмдэглэжээ.

Миний нийтлэл бол энэхүү диссертацид оруулсан хувь нэмэр юм: математикчдийн хамгийн хачирхалтай санаанууд хүртэл өргөн ойлголттой практикт хэрэглэгдэх боломжтой. Жишээлбэл, ... 47-д хуваагдах чадварыг шалгах тестээс илүү ашиггүй математикийн нээлтийг төсөөлж болох уу?

Энэ нь амьдралд хэзээ хэрэгтэй вэ? Хэрэв тийм бол үүнийг салгах гэж оролдох нь илүү хялбар байх болно. Хэрвээ хуваагдвал сайн, үгүй ​​бол ... хоёрдугаарт сайн (хуваахгүй гэдгийг бид мэднэ).

Хэрхэн хуваалцах, яагаад

Энэ оршилын дараа цааш үргэлжлүүлье.Уншигчид та хуваагдах шинж тэмдгийг мэдэх үү? Мэдээжийн хэрэг. Тэгш тоо 2, 4, 6, 8, тэгээр төгсдөг. Хэрэв цифрүүдийн нийлбэр нь гуравт хуваагдаж байвал тухайн тоо гуравт хуваагдана. Үүний нэгэн адил, есөөр хуваагдах тэмдэгтэй бол цифрүүдийн нийлбэр нь есөд хуваагдах ёстой.

Энэ хэнд хэрэгтэй вэ? Хэрэв би Уншигчийг сургуулийн даалгавараас өөр зүйлд сайн гэж итгүүлбэл худлаа болно. За тэгээд 4-т хуваагдах өөр нэг онцлог (мөн энэ юу вэ, Уншигч та дараагийн олимпиад хэдэн онд тохиохыг мэдэхийг хүсвэл үүнийг ашиглах болно ...). Гэхдээ 47-д хуваагдах шинж чанар? Энэ бол аль хэдийн толгойны өвчин юм. Ямар нэг зүйл 47-д хуваагддаг эсэхийг бид хэзээ нэгэн цагт мэдэх үү? Хэрэв тийм бол тооцоолуур аваад хараарай.

Энэ. Таны зөв, Уншигч. Гэсэн хэдий ч үргэлжлүүлэн уншина уу. Гуйя.

47-т хуваагдах байдал: 100+ тоо нь 47-д хуваагддаг бөгөөд зөвхөн 47 нь +8-д хуваагддаг.

Математикч сэтгэл хангалуун инээмсэглэнэ: "Хөөрхөн, хөөрхөн". Гэхдээ математик бол математик юм. Нотлох баримт чухал бөгөөд бид түүний гоо үзэсгэлэнд анхаарлаа хандуулдаг. Бидний зан чанарыг хэрхэн батлах вэ? Энэ бол маш энгийн. 100 + 94 - 47 = 47 (2 -) тоог хасна. Бид 100+-94+47=6+48=6(+8) авна.

Бид 47-д хуваагддаг тоог хассан тул 6 (+ 8) нь 47-д хуваагддаг бол 100 + болно. Харин 6-ын тоо нь 47-д харьцангуй анхны тоо бөгөөд энэ нь 6 (+ 8) нь + 47 байвал 8-д хуваагдана гэсэн үг. Баталгаажуулалтын төгсгөл.

Харцгаая Зарим жишээ.

8805685 тоо 47-д хуваагдах уу? Хэрэв бид үнэхээр сонирхож байгаа бол бага ангид заадаг шигээ хуваагаад л эртхэн олж мэдэх болно. Ямар ч байсан гар утас бүрт тооны машин байдаг. Хуваагдсан уу? Тийм ээ, хувийн 187355.

За, хуваагдах шинж тэмдэг бидэнд юу хэлэхийг харцгаая. Бид сүүлийн хоёр цифрийг салгаж, 8-аар үржүүлж, үр дүнг "таслагдсан тоо" дээр нэмээд гарсан тоотой ижил зүйлийг хийнэ.

8805685 → 88056 + 8 85 = 88736 → 887 + 8 36 = 1175 → 11 + 8 75 = 611 → 6 + 8 11 = 94.

94 нь 47-д хуваагддаг (хэсэг нь 2) гэдгийг бид харж байгаа бөгөөд энэ нь анхны тоо нь мөн хуваагддаг гэсэн үг юм. Сайн байна. Гэхдээ бид хөгжилтэй хэвээр байвал яах вэ?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Одоо бид зогсоох ёстой. Дөчин долоо нь 47-д хуваагддаг биз дээ?

Бид үнэхээр зогсох хэрэгтэй байна уу? Хэрэв бид цаашаа явбал яах вэ? Бурхан минь, юу ч тохиолдож болно ... Би нарийн ширийн зүйлийг орхих болно. Магадгүй дөнгөж эхлэл:

47 → 0 + 8 47 = 376 → 3 + 8 76 = 611 → 6 + 8 11 = 94 → 0 + 8 94 = 752.

Гэвч харамсалтай нь энэ нь үр зажлахтай адил донтуулдаг ...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Аа, дөчин долоо. Энэ нь өмнө нь болсон. Дараа нь юу юм? . Үүнтэй адил. Тоонууд нь иймэрхүү тойрогт ордог:

Энэ үнэхээр сонирхолтой юм. Маш олон гогцоо.

Хоёр дараах жишээнүүд.

Бид 10017627 тоо 47-д хуваагддаг эсэхийг мэдэхийг хүсч байна. Энэ мэдлэг бидэнд яагаад хэрэгтэй вэ? Мэдэх хүнд тус болдоггүй мэдлэгийн золгүй еэ гэдэг зарчмыг бид санаж байна. Мэдлэг ямар нэг зүйлийн төлөө үргэлж байдаг. Энэ нь ямар нэг зүйлийн төлөө байх болно, гэхдээ одоо би тайлбарлахгүй. Өөр хэдэн данс:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

"Тэр авга ахыгаа сүхээс саваа болгон сольсон." Энэ бүхнээс бид юу олж авах вэ?

За ингээд хэрэг хянан шийдвэрлэх ажиллагааны явцыг давтъя. Өөрөөр хэлбэл, бид үүнийг үргэлжлүүлэн хийх болно (өөрөөр хэлбэл "давтрах" гэсэн үг).

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Тоглоомоо зогсооцгооё, сургууль шиг (эсвэл тооны машин дээр) хуваах: 235 = 5 47. Бинго. Анхны 10017627 тоо 47-д хуваагдана.

Сайн хийлээ!

Хэрэв бид цаашаа явбал яах вэ? Надад итгээрэй, та үүнийг шалгаж болно.

Бас нэг сонирхолтой баримт. Бид 799 нь 47-д хуваагдах эсэхийг шалгахыг хүсч байна. Бид хуваагдах функцийг ашигладаг. Бид сүүлийн хоёр цифрийг салгаж, гарсан тоог 8-аар үржүүлж, үлдсэн тоог нэмнэ.

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

Бидэнд юу байгаа вэ? Зөвхөн 799 нь 47-д хуваагдах тохиолдолд 799 нь 47-д хуваагдах уу? Тиймээ зөв гэхдээ үүнд математик хэрэггүй!!! Газрын тос нь тослог (наад зах нь энэ тос нь тослог юм).

Навч, далайн дээрэмчид, онигооны төгсгөлийн тухай!

Өөр хоёр түүх. Навч нуух хамгийн тохиромжтой газар хаана байдаг вэ? Хариулт нь ойлгомжтой: ойд! Гэхдээ та үүнийг яаж олох вэ?

Хоёр дахь нь бидний эрт дээр үеэс уншиж байсан далайн дээрэмчдийн тухай номноос мэддэг. Далайн дээрэмчид эрдэнэсээ булсан газрынхаа газрын зургийг гаргажээ. Бусад нь үүнийг хулгайлсан эсвэл тулаанд ялсан. Гэвч газрын зурагт аль аралд зориулагдсан болохыг заагаагүй байна. Тэгээд өөрийгөө хай! Мэдээжийн хэрэг, далайн дээрэмчид үүнийг (эрүү шүүлт) даван туулсан - миний яриад байгаа шифрийг ийм аргыг ашиглан гаргаж авах боломжтой.

Хошин шогийн төгсгөл. Уншигч! Бид шифр үүсгэдэг. Би нууц тагнуулч бөгөөд "Бага техникч"-ийг холбоо барих хайрцаг болгон ашигладаг. Надад шифрлэгдсэн мессежүүдийг дараах байдлаар дамжуулаарай.

Эхлээд кодыг ашиглан текстийг тоон мөр болгон хөрвүүлнэ. AB CDEFGH IJ KLMN ON RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Таны харж байгаагаар бид Польш хэлний диакритик (жишээ нь ą, ę, ć, ń, ó, ś-гүй) болон польш бус q, v хэрэглэдэггүй, гэхдээ Польш биш x нь ямар ч тохиолдолд байдаг. Өөр 25-ыг зай болгон оруулъя (үг хоорондын зай). Өө, хамгийн чухал зүйл. 47 дугаар кодыг оруулна уу.

Энэ нь юу гэсэн үг болохыг та мэднэ. Та математикч найздаа оч.

Найзын нүд нь гайхсандаа томорчээ.

Та бардам хариулдаг:

Математикч танд энэ зан чанарыг өгдөг ... мөн шифрлэлтэд үл анзаарагдам харагдах функцийг ашигладаг гэдгийг та аль хэдийн мэддэг болсон.

Учир нь ийм загвар нь дүрсэлсэн үйлдэл юм

100+→+8.

Тиймээс, шифрлэгдсэн мессеж дэх 77777777 гэх мэт тоо ямар утгатай болохыг мэдэхийг хүсвэл функцийг ашигладаг.

100+→+8

1-ээс 25 хүртэлх тоо гарах хүртэл. Одоо тодорхой үсэг, тоон кодыг хар. Харцгаая: 77777777 →… Би үүнийг танд даалгавар болгон үлдээж байна. Харин 48 ямар үсэг нуугдаж байгааг харцгаая? Уншицгаая:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Дараа нь бид ээлжлэн авна:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432...

Төгсгөл нь харагдахгүй байна. Жаран (!) цагийн дараа л 25-аас бага тоо гарч ирнэ.Энэ нь 3, 48 нь С үсэг гэсэн үг.

Мөн энэ мессеж бидэнд юу өгч байна вэ? (Бид 47 дугаар код ашигладаг гэдгийг сануулмаар байна):

80 - 152 - 136 - 546 - 695719 - 100 - 224 - 555 - 412 - 111 - 640 - 102 - 152 - 12881 - 444 - 77777777 - 59 - 408 - 373 - 1234567 -

За яахав, бодоод үз дээ, ямар ээдрээтэй юм бэ, хэдэн данс. Бид эхэлсэн. Эрт 80. Мэдэгдэж буй дүрэм:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Энэ нь дараах байдлаар үргэлжилнэ.

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Ид! Мессежийн эхний үсэг нь K. Phew, амархан, гэхдээ хэр удаан үргэлжлэх вэ?

Мөн 1234567 тоо ямар их асуудалтай тулгарахыг харцгаая. Зөвхөн арван зургаа дахь удаад л 25-аас бага буюу 12 тоо гарах болно. Тэгэхээр 1234567 нь Л.

За гэж хэлэх байх, гэхдээ энэ арифметик үйлдэл нь маш энгийн тул компьютер дээр програмчлах нь кодыг шууд эвдэх болно. Тийм ээ энэ нь үнэн. Эдгээр нь компьютерийн энгийн тооцоолол юм. санаа нь нийтийн шифр Мөн энэ нь тооцооллыг компьютерт хэцүү болгох тухай юм. Наад зах нь зуун жил ажиллая. Тэр мессежийн кодыг тайлах уу? Хамаагүй. Энэ нь удаан хугацаанд хамаагүй болно. Энэ бол (их эсвэл бага) нийтийн шифрүүдийн тухай юм. Хэрэв та маш удаан ажиллавал ... мэдээ хамааралгүй болох хүртэл тэдгээрийг эвдэж болно.

 энэ нь үргэлж "эсрэг зэвсэг"-ийг төрүүлсээр ирсэн. Энэ бүхэн илд бамбайгаар эхэлсэн. Нууц албаныхан XNUMX-р зуунд компьютерууд (бидний бүтээсэнийг оруулаад) хагарах боломжгүй шифрлэлтийн аргыг зохион бүтээхийн тулд авьяаслаг математикчдад асар их мөнгө төлдөг.

хорин хоёрдугаар зуун уу? Энэ сайхан зуунд амьдрах олон хүмүүс дэлхий дээр аль хэдийн байгаа гэдгийг мэдэх нь тийм ч хэцүү биш юм!

Өө тийм үү? Хэрэв би ("Залуу техникч"-ийн холбогдсон Нууц ажилтан би) 23 дугаар кодоор шифрлэхийг гуйвал яах вэ? Эсвэл 17 уу? Энгийн:

Бид хэзээ ч математикийг ийм зорилгоор ашиглах шаардлагагүй байгаасай.

***

Өгүүллийн гарчиг нь яруу найргийн тухай юм. Тэр үүнд ямар хамаатай юм бэ?

Юу гэх мэт? Яруу найраг бас ертөнцийг шифрлэдэг.

Яаж?

Тэдний аргуудаар - алгебрийн аргуудтай төстэй.