Математикийн бодит бус ертөнцөд аялах

Би энэ нийтлэлийг компьютерийн шинжлэх ухааны коллежид лекц уншиж, дадлага хийснийхээ дараа нэг орчинд бичсэн. Би энэ сургуулийн оюутнуудыг шүүмжлэх, тэдний мэдлэг, шинжлэх ухаанд хандах хандлага, хамгийн гол нь багшлах ур чадварыг нь хамгаалдаг. Энэ... тэдэнд хэн ч заадаггүй.

Би яагаад ингэж өмөөрөх болов? Энгийн шалтгаанаар - би бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийг хараахан ойлгоогүй байх насан дээр байна. Магадгүй би тэдэнд машин жолоодох биш морь уях, тайлахыг зааж байгаа юм болов уу? Магадгүй би тэдэнд шунхтай үзэгээр бичихийг заадаг болов уу? Хэдийгээр би хүний ​​талаар илүү сайн бодолтой байдаг ч би өөрийгөө "дагадаг" гэж боддог, гэхдээ ...

Саяхныг хүртэл ахлах сургуульд байхдаа нийлмэл тоо ярьдаг байсан. Энэ лхагва гарагт би гэртээ ирээд ажлаасаа гарсан - бараг нэг нь ч оюутнууд энэ нь юу болохыг, эдгээр дугаарыг хэрхэн ашиглахыг хараахан сураагүй байна. Зарим нь бүх математикийг будсан хаалган дээрх галуу шиг хардаг. Гэхдээ тэд намайг яаж сурахыг хэлэхэд би бас үнэхээр гайхсан. Энгийнээр хэлбэл, лекцийн нэг цаг бүр хоёр цагийн гэрийн даалгавар: сурах бичиг унших, өгөгдсөн сэдвээр асуудлыг шийдэж сурах гэх мэт. Ийм маягаар бэлдсэний дараа бид бүх зүйлийг сайжруулдаг дасгалууд дээр ирдэг ... лекц дээр сууж байхдаа ихэвчлэн цонхоор харах нь мэдлэгийг толгойд оруулах баталгаа болдог гэж оюутнууд бодсон нь таатай байна.

Зогс! Энэ хангалттай. Улс орны өнцөг булан бүрээс ирсэн авьяаслаг хүүхдүүдийг дэмжин ажилладаг Хүүхдийн үндэсний сангийн тэтгэлэгт хамрагдагсадтай хичээл хийх үеэрээ асуусан асуултдаа хариултаа өгүүлье. Асуулт (эсвэл санал болгосон) нь:

- Бодит бус тоонуудын талаар ямар нэг зүйл хэлж өгөхгүй юу?

"Мэдээжийн хэрэг" гэж би хариулав. 

Тоонуудын бодит байдал

"Найз бол өөр би, нөхөрлөл бол 220 ба 284 тоонуудын харьцаа" гэж Пифагор хэлэв. Энд гол зүйл бол 220 тооны хуваагчдын нийлбэр нь 284, 284 тоог хуваагчдын нийлбэр нь 220 байна.

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

220 ба 284 тоонуудын хоорондох өөр нэг сонирхолтой давхцал бол арван долоон хамгийн өндөр анхны тоо нь 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, болон 59.

Тэдний нийлбэр нь 2х220, квадратуудын нийлбэр нь 59х284 байна.

Эхлээд. "Бодит тоо" гэсэн ойлголт байхгүй. Зааны тухай нийтлэл уншаад "Одоо заан бусыг гуйна" гэж асуудаг шиг. Бүтэн ба бүхэл бус, оновчтой ба иррационал гэж байдаг ч бодит бус зүйл гэж байдаггүй. Тодруулбал: бодит бус тоонуудыг хүчингүй гэж нэрлэхгүй. Математикт олон төрлийн "тоо" байдаг бөгөөд тэдгээр нь бие биенээсээ ялгаатай байдаг, тухайлбал амьтан судлалын харьцуулалтаар авч үзвэл заан, шороон хорхой.

Хоёрдугаарт, бид таны хориотой гэж мэддэг үйлдлүүдийг хийх болно: сөрөг тоонуудын квадрат язгуурыг задлах. За, математик ийм саад бэрхшээлийг даван туулах болно. Гэсэн хэдий ч энэ нь утга учиртай юу? Бусад шинжлэх ухааны нэгэн адил математикт онол мэдлэгийн санд үүрд орох эсэх нь ... түүнийг хэрэглэхээс хамаарна. Ашиггүй бол хогийн саванд, дараа нь мэдлэгийн түүхийн зарим хог хаягдал руу ордог. Энэ өгүүллийн төгсгөлд миний ярих тоонуудгүйгээр математикийг хөгжүүлэх боломжгүй юм. Гэхдээ зарим нэг жижиг зүйлээс эхэлье. Бодит тоо гэж юу вэ дээ. Тэд тооны шугамыг нягт, хоосон зайгүй дүүргэдэг. Натурал тоо гэж юу болохыг та бас мэднэ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - бүгд багтахгүй. хамгийн агуу дурсамж. Тэд бас үзэсгэлэнтэй нэртэй байдаг: байгалийн. Тэд маш олон сонирхолтой шинж чанартай байдаг. Энэ нь танд хэр таалагдаж байна вэ:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

Карл Линденхолм хэлэхдээ "Натурал тоог сонирхох нь зүйн хэрэг" гэж Леопольд Кронекер (1823–1891) "Бурхан байгалийн тоонуудыг бүтээсэн - бусад бүх зүйл хүний ​​бүтээл!" Бутархай (математикчдын оновчтой тоо гэж нэрлэдэг) нь бас гайхалтай шинж чанартай байдаг.

ба тэгш байдлын хувьд:

та зүүн талаас эхлэн давуу талыг үрж, үржүүлэх тэмдгээр сольж болно - тэгвэл тэгш байдал үнэн хэвээр байх болно.

Тиймээ.

Та бүхний мэдэж байгаагаар, a/b бутархайн хувьд, a ба b нь бүхэл тоо, b ≠ 0 гэж тэд хэлдэг. оновчтой тоо. Гэхдээ зөвхөн Польш хэлээр тэд өөрсдийгөө ингэж нэрлэдэг. Тэд англи, франц, герман, орос хэлээр ярьдаг. оновчтой тоо. Англи хэлээр: оновчтой тоо. Иррационал тоо энэ бол үндэслэлгүй, үндэслэлгүй юм. Бид мөн польш хэлээр үндэслэлгүй онол, санаа, үйлдлүүдийн талаар ярьдаг - энэ бол галзуурал, төсөөлөл, тайлагдашгүй зүйл юм. Эмэгтэйчүүд хулганаас айдаг гэж тэд хэлдэг - энэ нь тийм ч үндэслэлгүй биш гэж үү?

Эрт дээр үед тоонууд сүнстэй байсан. Тэд тус бүр нь ямар нэг зүйлийг илэрхийлж, тус бүр нь ямар нэг зүйлийг бэлгэддэг, тус бүр нь Орчлон ертөнцийн зохицолын нэг хэсгийг, өөрөөр хэлбэл Грек хэлээр Космосыг тусгадаг. "Сансар огторгуй" гэдэг үг нь яг "дэг журам, дэг журам" гэсэн утгатай. Хамгийн чухал нь зургаа (төгс тоо) ба арав буюу 1+2+3+4 гэсэн дараалсан тоонуудын нийлбэр бөгөөд бэлгэдэл нь өнөөг хүртэл хадгалагдан үлдсэн бусад тоонуудаас бүрддэг. Тиймээс Пифагор тоо бол бүх зүйлийн эхлэл, эх сурвалж, зөвхөн нээлт гэж заасан байдаг иррационал тоо Пифагорын хөдөлгөөнийг геометр рүү эргүүлэв. Үүний шалтгааныг бид сургуулиас нь мэддэг

√2 бол иррационал тоо юм

Байгаа гэж бодъё: мөн энэ хэсгийг багасгах боломжгүй. Ялангуяа p ба q хоёулаа сондгой. Дөрвөлжин болгоё: 2q²=p². p тоо сондгой байж болохгүй, тэр цагаас хойш p² мөн байх ба тэгш байдлын зүүн тал нь 2-ын үржвэр юм. Тиймээс p нь тэгш, өөрөөр хэлбэл p = 2r, иймээс p²= 4р². Бид 2q тэгшитгэлийг бууруулна²= 4р² 2-оор. Бид q-г авна²= 2р² мөн q нь тэгш байх ёстой гэдгийг бид харж байгаа бөгөөд бидний таамаглаж байсан нь тийм биш юм. Үүний үр дүнд үүссэн зөрчилдөөн нь нотлох баримтыг бүрэн төгс болгодог - Энэ томъёог математикийн ном болгоноос олж болно. Энэхүү бодит нотолгоо нь софистуудын дуртай заль мэх юм.

Энэхүү асар том байдлыг Пифагорчууд ойлгохгүй байв. Бүх зүйлийг тоогоор дүрслэх чадвартай байх ёстой бөгөөд элсэн дээгүүр саваагаар зурж болох дөрвөлжингийн диагональ нь ямар ч, өөрөөр хэлбэл хэмжигдэхүйц урттай байдаггүй. "Бидний итгэл дэмий хоосон байсан" гэж Пифагорчууд хэлдэг бололтой. Яаж тэгэх вэ? Энэ нь ямар нэг ... үндэслэлгүй юм. Эвлэл бүлэглэлийн аргаар өөрийгөө аврахыг оролдсон. Тэдний оршихуйг илчлэхийг зүрхэлсэн хэн бүхэн иррационал тоо, цаазаар авах ёстой байсан бөгөөд эхний өгүүлбэрийг эзэн өөрөө гүйцэтгэсэн бололтой.

Гэвч "бодол нь ямар ч гэмтэлгүй өнгөрөв." Алтан үе ирлээ. Грекчүүд Персүүдийг ялав (Марафон 490, Блок 479). Ардчилал бэхжиж, гүн ухааны сэтгэлгээний шинэ төвүүд, шинэ сургуулиуд бий болжээ. Пифагорчууд иррационал тоотой тэмцсээр байв. Зарим нь номлосон: бид энэ нууцыг ойлгохгүй; Бид зөвхөн Uncharted-ийг эргэцүүлэн, гайхшруулж чадна. Сүүлийнх нь илүү прагматик байсан бөгөөд Нууцлаг байдлыг хүндэтгэдэггүй байв. Тэр үед иррационал тоог ойлгох боломжтой оюун санааны хоёр бүтэц бий болсон. Өнөөдөр бид тэдгээрийг маш сайн ойлгож байгаа нь Евдокс (МЭӨ XNUMX-р зуун) -д хамаарах бөгөөд зөвхөн XNUMX-р зууны төгсгөлд Германы математикч Ричард Дедекинд Евдоксийн онолыг хатуу чанд баримтлалын шаардлагын дагуу зөв хөгжүүлж өгсөн юм. математик логик.

Олон тооны дүрс эсвэл эрүү шүүлт

Та тоогүйгээр амьдарч чадах уу? Амьдрал ямар байх байсан ч гэсэн... Бид өмнө нь хөлний уртыг хэмждэг саваагаар гутал авахын тулд дэлгүүрээс явах хэрэгтэй болно. "Би алим авмаар байна, энд байна!" - Бид зах дээр худалдагчдыг харуулах болно. "Модлинаас Нови Дур Мазовецки хүртэл хэр хол байдаг"? "Нээрээ ойрхон!"

Тоонуудыг хэмжихэд ашигладаг. Тэдний тусламжтайгаар бид бусад олон ойлголтыг илэрхийлдэг. Жишээлбэл, газрын зургийн масштаб нь тухайн улсын газар нутаг хэр багассаныг харуулж байна. Хоёрын нэгийн хэмжүүр буюу энгийнээр 2 нь ямар нэг зүйлийг хоёр дахин томруулсан гэдгийг илэрхийлдэг. Математикаар хэлье: нэгэн төрлийн байдал бүр нь тоотой тохирч байна - түүний масштаб.

Даалгавар. Бид зургийг хэд хэдэн удаа томруулж, xerographic хуулбар хийсэн. Дараа нь томруулсан хэлтэрхий дахин б дахин томорсон. Томруулах ерөнхий хэмжээ хэд вэ? Хариулт: a × b үржүүлсэн b. Эдгээр масштабыг үржүүлэх шаардлагатай. "Хасах нэг" тоо -1 нь төвлөрсөн, өөрөөр хэлбэл 180 градус эргүүлсэн нэг нарийвчлалтай тохирч байна. 90 градусын эргэлтэнд ямар тоо тохирох вэ? Тийм тоо байхгүй. Энэ нь тийм, энэ нь ... эсвэл бүр удахгүй болох болно. Та ёс суртахууны эрүү шүүлтэд бэлэн үү? Зоригтой байж, хасах нэгийн язгуурыг авна. Би сонсож байна уу? Та юу чадахгүй байна вэ? Эцсийн эцэст би чамайг зоригтой байгаарай гэж хэлсэн. Татаж ав! Хөөе, за, тат, тат... Би тусалъя... Энд: -1 Нэгэнт байгаа болохоор ашиглаад үзье... Мэдээжийн хэрэг, одоо бид бүх сөрөг тоонуудын үндсийг гаргаж болно, жишээ.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"Сэтгэцийн зовлон зүдгүүрээс үл хамааран." Жироламо Кардано 1539 онд удалгүй энэ нэрээр нэрлэгдэх болсонтой холбоотой сэтгэцийн бэрхшээлийг даван туулахыг хичээж бичсэн зүйл юм. төсөөллийн хэмжигдэхүүнүүд. Тэр эдгээрийг авч үзсэн ...

...Даалгавар. 10-ыг хоёр хэсэгт хуваа, үржвэр нь 40. Өмнөх ангиасаа тэр ингэж бичсэнийг санаж байна: Мэдээж боломжгүй. Гэсэн хэдий ч, үүнийг хийцгээе: 10-ыг хоёр тэнцүү хэсэгт хувааж, тус бүр нь 5-тай тэнцүү. Тэдгээрийг үржүүл - 25. Үр дүнд хүрсэн 25-аас одоо 40-ийг хасаад, хэрэв хүсвэл -15 болно. Одоо харна уу: 15-аас √-5 нэмж хасвал 40-ийн үржвэр гарна. Эдгээр нь 5-√-15 ба 5 + √-15 тоонууд юм. Үр дүнгийн баталгаажуулалтыг Кардано дараах байдлаар хийсэн.

"Зүрхний зовлонгоос үл хамааран 5 + √-15-ыг 5-√-15-аар үржүүл. Бид 25 - (-15) авдаг бөгөөд энэ нь 25 + 15-тай тэнцүү байна. Тэгэхээр бүтээгдэхүүн нь 40 .... Энэ үнэхээр хэцүү байна."

За, хэд вэ: (1 + √-1) (1-√-1)? Үржүүлье. √-1 × √-1 = -1 гэдгийг санаарай. Агуу их. Одоо илүү хэцүү даалгавар: a + b√-1-ээс ab√-1 хүртэл. Юу болсон бэ? Мэдээжийн хэрэг: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Энэ юу нь сонирхолтой вэ? Жишээлбэл, бид "өмнө нь мэддэггүй байсан" хэллэгийг хүчин зүйл болгон ялгаж чаддаг. Үржүүлэх товчилсон томъёо²-b² Та томъёог санаж байна уу²+b² тийм биш байсан, учир нь энэ нь байж болохгүй. Бодит тооны мужид олон гишүүнт²+b² Энэ нь зайлшгүй юм. "Хасах нэг"-ийн "манай" язгуурыг i үсгээр тэмдэглэе.²= -1. Энэ бол "бодит бус" анхны тоо юм. Энэ бол онгоцны 90 градусын эргэлтийг дүрсэлсэн зүйл юм. Яагаад? Эцэст нь,²= -1 бөгөөд нэг 90 градусын эргэлт, өөр нэг 180 градусын эргэлтийг хослуулснаар 45 градусын эргэлтийг өгдөг. Ямар төрлийн эргэлтийг тайлбарлаж байна вэ? Мэдээжийн хэрэг XNUMX градусын эргэлт. -i гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь арай илүү төвөгтэй юм:

(-Би)² = -i × (-i) = + i² = -1

Тэгэхээр -i нь мөн i-ийн эргэлтийн эсрэг чиглэлд 90 градусын эргэлтийг дүрсэлдэг. Аль нь зүүн, аль нь зөв вэ? Та цаг товлох ёстой. Бид i тоо нь математикчдын эерэг гэж үздэг чиглэлийн эргэлтийг зааж өгдөг гэж таамаглаж байна: цагийн зүүний эсрэг. -i тоо нь заагч хөдөлж буй чиглэлд эргэлтийг дүрсэлдэг.

Гэхдээ i, -i гэх мэт тоонууд байдаг уу? Байна! Бид тэднийг зүгээр л амилуулсан. Би сонсож байна уу? Тэд зөвхөн бидний толгойд байдаг гэж үү? За юу хүлээх вэ? Бусад бүх тоонууд зөвхөн бидний оюун санаанд байдаг. Шинээр төрсөн хүүхдүүд маань амьд үлдэх эсэхийг харах хэрэгтэй. Илүү нарийвчлалтай, загвар нь логик эсэх, ямар нэгэн зүйлд хэрэг болох эсэх. Бүх зүйл эмх цэгцтэй байгаа бөгөөд эдгээр шинэ дугаарууд үнэхээр тустай гэж миний үгийг хүлээн авна уу. 3+i, 5-7i, ерөнхийдөө: a+bi гэх мэт тоонуудыг комплекс тоо гэж нэрлэдэг. Би та нарт онгоцыг эргүүлэх замаар тэдгээрийг хэрхэн авахыг харуулсан. Тэдгээрийг янз бүрийн аргаар оруулж болно: хавтгай дахь цэгүүд, зарим олон гишүүнтүүд, зарим төрлийн тоон массивууд ... ба тэдгээр нь ижил байх бүрт: x тэгшитгэл² +1=0 элемент байхгүй... hocus pocus аль хэдийн байна!!!! Баярлаж хөөрцгөөе!!!

Аяллын төгсгөл

Хуурамч дугаарын улсаар хийсэн анхны аялал маань үүгээр өндөрлөж байна. Бусад ер бусын тоонуудаас би ард нь биш урд талд нь хязгааргүй тооны цифрүүдтэй (тэдгээрийг 10-адик гэж нэрлэдэг, бидний хувьд p-adic нь илүү чухал, энд p нь анхны тоо) тоог дурдах болно. жишээ X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Х-г тоолъё². Яагаад гэвэл? Хязгааргүй тооны цифрүүд орсон тооны квадратыг тооцвол яах вэ? За, тэгье. Бид x гэдгийг мэднэ² = X.

Тэгшитгэлийг хангасан урд талдаа хязгааргүй тооны цифртэй өөр ийм тоог олъё. Санамж: зургаагаар төгссөн тооны квадрат нь зургаагаар төгсдөг. 76-аар төгссөн тооны квадрат мөн 76-аар төгсдөг. 376-аар төгссөн тооны квадрат мөн 376-аар төгсдөг. 9376-аар төгссөн тооны квадрат мөн 9376-аар төгсдөг. XNUMX-д… Мөн эерэг тоонуудын хувьд бусад эерэг тооноос бага хэвээр байгаа маш бага тоонууд байдаг. Тэд маш жижигхэн тул заримдаа тэгийг авахын тулд квадрат болгоход хангалттай. a × b = b × a нөхцөлийг хангахгүй тоонууд байдаг. Мөн хязгааргүй тоо байдаг. Хэдэн натурал тоо байдаг вэ? Хязгааргүй олон уу? Тийм ээ, гэхдээ хэр их вэ? Үүнийг хэрхэн тоогоор илэрхийлэх вэ? Хариулт: хязгааргүй тооны хамгийн бага нь; Энэ нь сайхан үсгээр тэмдэглэгдсэн: A ба тэг индекс А-аар нэмэгддэг₀ , алеф-тэг.

Бидний мэдэхгүй... эсвэл та хүссэнээрээ итгэж эсвэл үл итгэх тоонууд бас бий. Мөн үүнтэй төстэй зүйлсийн талаар ярихад: Бодит бус тоо, уран зөгнөлт зүйлийн тоо танд таалагдсан хэвээр байна гэж найдаж байна.