Нарийн төвөгтэй зан үйл бүхий энгийн загварууд, тухайлбал эмх замбараагүй байдал
Компьютер бол байгалиас нуусан нууцыг илрүүлэхэд эрдэмтдийн улам бүр ашиглагдаж байгаа хэрэгсэл юм. Загварчлал нь туршилт, онолын хамт дэлхийг судлах гурав дахь арга болж байна.
Гурван жилийн өмнө Силезийн их сургуульд бид компьютерийн аргыг боловсролд нэвтрүүлэх хөтөлбөр хэрэгжүүлж эхэлсэн. Үүний үр дүнд маш их сэтгэл хөдөлгөм дидактик материалууд бий болж, олон сэдвийг судлахад хялбар, гүнзгийрүүлсэн. Python-ийг үндсэн хэрэглүүр болгон сонгосон бөгөөд энэ нь шинжлэх ухааны боломжит номын сангийн хүчин чадалтай хамт тэгшитгэл, зураг эсвэл өгөгдөл бүхий "компьютерийн туршилт" хийх хамгийн сайн шийдэл байж магадгүй юм. Бүрэн ажлын ширээний хамгийн сонирхолтой хэрэглүүрүүдийн нэг бол Sage [2] юм. Энэ нь компьютерийн алгебрийн системийг Python хэлтэй нээлттэй нэгтгэх бөгөөд вэб хөтөч болон үүлэн үйлчилгээ [3] эсвэл интерактив компьютерийн нэг серверээр дамжуулан нэвтрэх боломжуудын аль нэгийг ашиглан шууд тоглож эхлэх боломжийг олгодог. Энэ нийтлэлийн хувилбар дээр үндэслэсэн болно [4] .
Экологи дахь эмх замбараагүй байдал
Оксфордын их сургуулийн 1-р жилдээ Австралийн эрдэмтэн Роберт Мэй хүн ам зүйн динамикийн онолын талыг судалжээ. Тэрээр "Маш нарийн төвөгтэй динамик бүхий энгийн математик загварууд" [XNUMX] гэсэн өдөөн хатгасан гарчигтайгаар "Nature" сэтгүүлд хэвлэгдсэн нийтлэлдээ ажлаа дүгнэжээ. Олон жилийн туршид энэ өгүүлэл онолын экологийн хамгийн их иш татсан бүтээлүүдийн нэг болжээ. Энэ ажлыг ийм сонирхох болсон шалтгаан юу вэ?
Популяцийн динамикийн сонгодог асуудал бол тухайн зүйлийн одоогийн төлөв байдлыг харгалзан ирээдүйн популяцийг тооцоолох явдал юм. Математикийн хувьд экосистемийг хүн амын нэг үеийн амьдрал нэг улирал үргэлжилдэг хамгийн энгийн систем гэж үздэг. Сайн жишээ бол эрвээхэй гэх мэт нэг улиралд бүрэн хувирдаг шавьжны популяци юм. Цаг хугацаа нь хүн амын амьдралын мөчлөгт тохирсон салангид үеүүдэд2 хуваагддаг. Иймээс ийм экосистемийг дүрсэлсэн тэгшитгэлүүд нь угаасаа ийм нэртэй байдаг салангид хугацаа, өөрөөр хэлбэл. t = 1,2,3…. Роберт Мэй бусад зүйлсийн дунд ийм динамикийг авч үзсэн. Тэрээр өөрийн үндэслэлдээ экосистемийг хялбаршуулж, популяци нь өмнөх жилийн популяцын квадрат функц байсан нэг зүйл болгон хувиргасан. Энэ загвар хаанаас ирсэн бэ?
Популяцийн хувьслыг тодорхойлсон хамгийн энгийн дискрет тэгшитгэл бол шугаман загвар юм.
Энд Ni нь i-р улирлын элбэг дэлбэг байдал, Ni + 1 нь дараагийн улирлын хүн амыг тодорхойлдог. Ийм тэгшитгэл нь гурван хувилбарт хүргэж болохыг харахад хялбар байдаг. a = 1 үед хувьсал нь популяцийн хэмжээг өөрчлөхгүй бөгөөд <1 нь устахад хүргэдэг бөгөөд a > 1 тохиолдолд хүн амын хязгааргүй өсөлтийг хэлнэ. Энэ нь байгалийн тэнцвэргүй байдалд хүргэнэ. Байгаль дээрх бүх зүйл хязгаарлагдмал байдаг тул энэ тэгшитгэлийг хязгаарлагдмал нөөцийг харгалзан үзэх нь зүйтэй юм. Хортон шавьж жил бүр яг адилхан үр тариа иддэг гэж төсөөлөөд үз дээ. Хэрэв шавжнууд үржүүлж чадах хүнсний хэмжээтэй харьцуулахад цөөхөн байвал нөхөн үржихүйн бүрэн хүчин чадлаараа үржих боломжтой бөгөөд энэ нь математикийн хувьд тогтмол a > 1-ээр тодорхойлогддог. Гэвч хортон шавьжийн тоо нэмэгдэхийн хэрээр хоол хүнс хомсдож, нөхөн үржих чадвар буурна. Хэцүү тохиолдолд маш олон шавж төрж, үржихээс өмнө бүх үр тариаг идэж, хүн ам нь үхдэг гэж төсөөлж болно. Хүнсний хүртээмж хязгаарлагдмал байгаагийн энэхүү үр нөлөөг харгалзан үзсэн загварыг Верхулст 1838 онд анх санал болгосон. Энэ загварт өсөлтийн хурд тогтмол биш, харин хүн амын төлөв байдлаас хамаарна.
Өсөлтийн хурд a болон Ni хоорондын хамаарал нь дараах шинж чанартай байх ёстой: хүн амын тоо нэмэгдвэл хүнсний хүртээмж хэцүү тул өсөлтийн хурд буурах ёстой. Мэдээжийн хэрэг, энэ өмчтэй олон функц байдаг: эдгээр нь дээрээс доош чиглэсэн функцууд юм. Верхулст дараах харилцааг санал болгов.
a>0 ба тогтмол K>0 нь хүнсний нөөцийг тодорхойлох ба орчны хүчин чадал гэнэ. K-ийн өөрчлөлт нь хүн амын өсөлтийн хурдад хэрхэн нөлөөлдөг вэ? Хэрэв K нэмэгдвэл Ni/K буурна. Энэ нь эргээд 1-Ni/K өсөхөд хүргэдэг бөгөөд энэ нь ургадаг гэсэн үг юм. Энэ нь өсөлтийн хурд нэмэгдэж, хүн амын өсөлт хурдацтай явагдаж байна гэсэн үг. Тиймээс өсөлтийн хурд нь тэгшитгэл (1)-ын адил өөрчлөгдөнө гэж үзээд өмнөх загварыг (3) өөрчилье. Дараа нь бид тэгшитгэлийг авна
Энэ тэгшитгэлийг рекурсив тэгшитгэл хэлбэрээр бичиж болно
Энд xi = Ni / K ба xi + 1 = Ni + 1 / K нь i хугацаа ба i + 1 хугацааны дахин масштабтай популяцийг илэрхийлнэ. (5) тэгшитгэлийг логистик тэгшитгэл гэнэ.
Ийм жижиг өөрчлөлт хийснээр манай загварыг шинжлэхэд хялбар юм шиг санагдаж магадгүй юм. Үүнийг шалгаж үзье. Анхдагч олонлогийн x5 = 0.5-аас эхлэн a = 0 параметрийн тэгшитгэлийг (0.45) авч үзье. Популяцийн дараалсан утгыг рекурсив тэгшитгэл (5) ашиглан авч болно:
x1= сүх0(1-р0)
x2= сүх1(1-р1)
x3= сүх2(1-р2)
(6) дахь тооцооллыг хөнгөвчлөхийн тулд бид дараах програмыг ашиглаж болно (энэ нь Python дээр бичигдсэн бөгөөд бусад зүйлсийн дотор Sage платформ дээр ажиллах боломжтой. Бид танд http://icse.us.edu номыг уншихыг зөвлөж байна. .pl/e-book .), манай загварыг дуурайлган:
хүртэл = 0.5 x = 0.45 i муж дахь (10) хувьд: x \u1d a * x * (XNUMX-x) x хэвлэх
Бид xi-ийн дараалсан утгуудыг тооцоолж, тэглэх хандлагатай байгааг анзаардаг. Дээрх кодыг туршиж үзсэнээр энэ нь x0-ийн анхны утгаас үл хамааран үнэн болохыг хялбархан харж болно. Энэ нь хүн ам байнга үхэж байна гэсэн үг.
Шинжилгээний хоёр дахь үе шатанд бид a параметрийн утгыг ae (1,3) муж дахь дурын утгад нэмнэ. Дараа нь xi дараалал нь тодорхой хэмжээгээр х * > 0 болж хувирдаг. Үүнийг экологийн үүднээс тайлбарлавал бид популяцийн тоо улирал бүр өөрчлөгддөггүй тодорхой түвшинд тогтсон гэж хэлж болно. . x *-ийн утга нь x0 анхны төлөвөөс хамаарахгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ нь экосистемийг тогтворжуулах гэсэн эрмэлзэлийн үр дүн юм - хүн ам өөрийгөө тэжээх чадварт тохируулан хэмжээгээ тохируулдаг. Математикийн хувьд систем нь тогтвортой тогтмол цэг рүү чиглэдэг гэж хэлдэг, i.e. x = f(x) тэгш байдлыг хангах (энэ нь дараагийн агшинд өмнөх үеийнхтэй ижил төлөв байна гэсэн үг). Сэйжийн тусламжтайгаар бид популяцийг цаг хугацааны графикаар зурж энэ хувьслыг графикаар төсөөлж чадна.
Ийм тогтворжуулах нөлөөг судлаачид хүлээж байсан бөгөөд хэрэв гэнэтийн зүйл байгаагүй бол логистикийн тэгшитгэл (5) олны анхаарлыг татахгүй байх байсан. Параметрийн тодорхой утгуудын хувьд загвар (5) нь урьдчилан таамаглах аргагүй байдлаар ажилладаг болох нь тогтоогдсон. Нэгдүгээрт, үе үе ба олон үет төлөв байдаг. Хоёрдугаарт, үе шат болгонд хүн ам санамсаргүй хөдөлгөөн шиг жигд бус өөрчлөгддөг. Гуравдугаарт, анхны нөхцөл байдалд маш их мэдрэмжтэй байдаг: бараг ялгагдахгүй хоёр анхны төлөв нь хүн амын огт өөр хувьсалд хүргэдэг. Эдгээр бүх шинж чанарууд нь бүрэн санамсаргүй хөдөлгөөнтэй төстэй зан үйлийн онцлог бөгөөд детерминист эмх замбараагүй байдал гэж нэрлэгддэг.
Энэ өмчийг судалж үзье!
Эхлээд a = 3.2 параметрийн утгыг тогтоож, хувьслыг харцгаая. Энэ удаад хүн амын тоо нэг биш, хоёр дахь улирал тутамд дараалан тохиолддог хоёр утгад хүрч байгаа нь гайхмаар санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч асуудал үүгээр дуусахгүй нь тодорхой болов. a = 4 бол системийг урьдчилан таамаглах боломжгүй болсон. Зураг (2)-ыг харцгаая, эс тэгвээс бид компьютер ашиглан тоонуудын дарааллыг өөрсдөө үүсгэнэ. Үр дүн нь зөвхөн санамсаргүй байдлаар хийгдсэн бөгөөд бага зэрэг өөр эхэлж буй популяцийн хувьд огт өөр юм. Гэсэн хэдий ч анхааралтай уншигч эсэргүүцэх ёстой. Детерминист тэгшитгэл1-ээр дүрслэгдсэн систем, тэр ч байтугай маш энгийн ч гэсэн урьдчилан таамаглах аргагүй байдлаар яаж ажиллах вэ? За, магадгүй.
Энэ системийн онцлог нь анхны нөхцөл байдалд гайхалтай мэдрэмжтэй байдаг. Нэг саяны нэгээр ялгаатай хоёр анхны нөхцлөөс эхлэхэд хангалттай бөгөөд хэдхэн алхамын дараа бид огт өөр популяцийн утгыг авах болно. Компьютер дээр шалгаж үзье:
a = 4.0
x = 0.123 y = 0.123 + 0.000001 PCC = [] i муж дахь (25) хувьд: x = a*x*(1-x) u = a * u * (1-u) x, y хэвлэх
Энд детерминист хувьслын энгийн загвар байна. Гэхдээ энэ детерминизм нь хууран мэхлэлт, зүгээр л математикийн детерминизм юм. Практик талаас нь авч үзвэл, бид хэзээ ч анхны нөхцлүүдийг математикийн хувьд яг таг тогтоож чадахгүй тул систем нь урьдчилан таамаглах аргагүй ажилладаг. Үнэн хэрэгтээ бүх зүйл тодорхой нарийвчлалтайгаар тодорхойлогддог: хэмжих хэрэгсэл бүр тодорхой нарийвчлалтай байдаг бөгөөд энэ нь эмх замбараагүй байдлын шинж чанартай детерминист системд практик таамаглах боломжгүй байдлыг үүсгэдэг. Үүний нэг жишээ бол эмх замбараагүй байдлын шинж чанарыг үргэлж харуулдаг цаг агаарын урьдчилсан мэдээний загварууд юм. Ийм учраас урт хугацааны цаг агаарын урьдчилсан мэдээ маш муу байна.
Эмх замбараагүй системд дүн шинжилгээ хийх нь маш хэцүү байдаг. Гэсэн хэдий ч бид эмх замбараагүй байдлын олон нууцыг компьютерийн симуляцийн тусламжтайгаар амархан шийдэж чадна. Бид абсцисса тэнхлэгийн дагуу параметрийн утгуудыг, ордны тэнхлэгийн дагуу логистик зураглалын тогтвортой цэгүүдийг байрлуулсан салаалсан диаграмыг зурцгаая. Бид олон тооны системийг нэгэн зэрэг дуурайж, олон түүврийн дараа утгыг зурах замаар тогтвортой оноо авдаг. Таны таамаглаж байгаагаар энэ нь маш их тооцоолол шаарддаг. Дараах утгуудыг "болгоомжтой" боловсруулахыг хичээцгээе.
numpy-г np хэлбэрээр импортлох Nx = 300 Энэ = 500 х = жишээ нь шугаман орон зай (0,1, Nx) х = х + жишээ нь эрос ((Na, Nx)) h = np.transpose (h) a = жишээ нь linspace (1,4, Na) a=a+np.тэг((Nx,Na)) i муж дахь (100) хувьд: x=a*x*(1-x) a_, x_ c-ийн хувьд pt = [a_, x_] zip(a.flatten(),x.flatten())] цэг (pt, size = 1, figsize = (7,5))
Бид зурагтай төстэй зүйлийг авах ёстой (3). Энэ зургийг хэрхэн тайлбарлах вэ? Жишээлбэл, a = 3.3 параметрийн утгаараа бид 2 тогтвортой тогтмол цэгтэй (хоёр дахь улирал тутамд популяцийн хэмжээ ижил байдаг). Гэсэн хэдий ч a = 3.5 параметрийн хувьд бид 4 тогтмол цэгтэй (дөрөв дэх улирал тутамд популяци ижил тоотой), a = 3.56 параметрийн хувьд бид 8 тогтмол оноотой байна (найм дахь улирал тутамд популяци ижил тоотой). Харин a≈3.57 параметрийн хувьд бид хязгааргүй олон тогтмол цэгүүдтэй (хүн амын тоо хэзээ ч давтагдахгүй бөгөөд урьдчилан тааварлашгүй байдлаар өөрчлөгддөг). Гэсэн хэдий ч, компьютерийн програмын тусламжтайгаар бид a параметрийн хамрах хүрээг өөрчилж, энэ диаграммын хязгааргүй геометрийн бүтцийг өөрийн гараар судлах боломжтой.
Энэ бол мөсөн уулын зөвхөн үзүүр юм. Энэ тэгшитгэлийн талаар олон мянган шинжлэх ухааны бүтээл бичсэн ч энэ нь нууцаа нуусаар байна. Компьютерийн симуляцийн тусламжтайгаар та дээд математикт хандахгүйгээр шугаман бус динамикийн ертөнцийн анхдагч болж чадна. Логистик тэгшитгэлийн олон сонирхолтой шинж чанарууд, тэдгээрийг дүрслэн харуулах сонирхолтой аргуудын талаархи дэлгэрэнгүй мэдээллийг агуулсан онлайн хувилбарыг уншихыг урьж байна.
1 Детерминист хууль гэдэг нь ирээдүйг анхны төлөвөөр онцгойлон тодорхойлдог хууль юм. Антоним нь магадлалын хууль юм. 2 Математикийн хувьд "дискрет" гэдэг нь тодорхой тоолж болох олонлогоос утгыг авах гэсэн үг юм. Үүний эсрэгээр "тасралтгүй" байна.
