Яагаад тэгээр хувааж болохгүй гэж?
Агуулга
Уншигчид намайг яагаад ийм улиг болсон асуудалд бүхэл бүтэн нийтлэлээ зориулав гэж гайхаж магадгүй юм. Шалтгаан нь нэрийн дор хагалгааг санамсаргүйгээр хийж буй оюутнууд (!) гайхалтай. Зөвхөн оюутнууд ч биш. Заримдаа би багш нарыг ч барьдаг. Ийм багш нарын шавь нар математикийн хичээлээр юу хийх вэ? Энэ текстийг бичих болсон шууд шалтгаан нь тэгээр хуваах нь асуудалгүй байсан багштай хийсэн яриа байв ...
Тэгтэй, тийм ээ, юу ч биш, ямар ч бэрхшээлийг эс тооцвол, учир нь бид үүнийг өдөр тутмын амьдралдаа ашиглах шаардлагагүй юм. Бид тэг өндөг авахаар дэлгүүр хэсдэггүй. "Өрөөнд нэг хүн байна" гэдэг нь ямар нэгэн байдлаар байгалийн, "тэг хүн" нь хиймэл сонсогддог. Хэл судлаачид тэг гэдэг нь хэлний системийн гадна байдаг гэж хэлдэг.
Бид банкны дансанд тэггүйгээр хийж болно: термометр дээрх шиг эерэг ба сөрөг утгыг улаан, цэнхэр өнгийг ашиглана. Энэ нь эсрэгээрээ, учир нь дебит нь анхааруулга өгөх ёстой тул улаан өнгийг ашиглахыг зөвлөж байна).
Тэгийг натурал тоо болгон оруулснаар бид ялгах асуудлыг хөнддөг Кардинал тоо od өрх. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….. дотор
тооны хүч нь түүний зогсож буй газрын тоотой ижил байна. Үгүй бол энэ нь аль хэдийн 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….. дараалалд байна.
Ганц биет багцын тоо хоёрдугаарт, хоёр элементтэй багцын тоо гуравдугаарт, гэх мэт. Тухайлбал, тэмцээнд оролцох тамирчдын байрыг эхнээс нь дугаарлахгүй байгаа шалтгааныг тайлбарлах ёстой. Дараа нь нэгдүгээр байрт шалгарсан хүн мөнгөн медаль хүртэнэ (тэг байрын эзэнд алт очно) гэх мэт.. Хөлбөмбөгт бага зэрэг үүнтэй төстэй журмыг ашигласан - "Нэгдүгээр лиг" гэсэн утгатай гэдгийг уншигчид мэддэг эсэхийг би мэдэхгүй. хамгийн сайныг дагадаг." ", мөн тэг лиг "дээд лиг" болох гэж нэрлэдэг.
Заримдаа бид эхнээс нь эхлэх хэрэгтэй гэсэн маргааныг сонсдог, учир нь энэ нь мэдээллийн технологийн хүмүүст тохиромжтой. Эдгээрийг үргэлжлүүлэхийн тулд километрийн тодорхойлолтыг өөрчлөх хэрэгтэй - энэ нь 1024 м байх ёстой, учир нь энэ нь килобайт дахь байтуудын тоо юм (Би компьютерийн эрдэмтдийн мэддэг онигоог дурдах болно: "Нэгдүгээр курсын оюутан хоёрын ялгаа юу вэ? компьютерийн шинжлэх ухааны оюутан, энэ факультетийн тавдугаар курсын оюутан уу? нэг килобайт нь 1000 килобайт, сүүлчийнх нь нэг километр нь 1024 метр")!
Аль хэдийн нухацтай авч үзэх ёстой өөр нэг үзэл бодол бол: бид үргэлж эхнээс нь хэмждэг! Захирагч, ахуйн жин, тэр ч байтугай цаг дээр дурын масштабыг харахад хангалттай. Бид тэгээс хэмжиж, тоолох нь хэмжээсгүй нэгжтэй хэмжилт гэж ойлгож болох тул тэгээс тоолох ёстой.
Энэ бол энгийн асуудал, гэхдээ ...
Ерөнхий үндэслэлийг орхиж, тэг хуваах руу буцъя. Асуудал энгийн бөгөөд хэрэв байхгүй байсан бол энгийн байх байсан ... тэгвэл юу вэ? Бодож үзэцгээе. Хэр их байж болох вэ - нэгийг тэгээр хуваах уу? Харцгаая: 1/0 = x. Хоёр талыг зүүн талын хуваагчаар үржүүлнэ.
Бид 1=0 болно. Ямар нэг зүйл буруу байна! Юу болсон бэ? Аа таамаглаж байна! Нэгдмэл байдлын коэффициент, тэг байна гэсэн таамаглал нь зөрчилд хүргэдэг. Хэрэв нэгийг тэгт хувааж чадахгүй бол өөр тоо хувааж болно. Уншигч та мөрөө хавчиж, зохиолч (өөрөөр хэлбэл би) яагаад ийм эелдэг үгсийн талаар бичээд байгааг гайхаж байвал ... Би маш их баяртай байна!
0/0 = 0 томьёог зөрүүдээр хамгаалж болох ч энэ нь тоог өөрөө хуваах үр дүн нэгтэй тэнцүү гэсэн дүрэмтэй зөрчилддөг. Тооцооллын хувьд 0/0, °/° гэх мэт тэмдэгтүүд нь гарцаагүй, гэхдээ огт өөр юм. Эдгээр нь ямар ч тоо гэсэн үг биш, харин тодорхой төрлийн тодорхой дарааллын бэлгэдлийн тэмдэглэгээ юм.
Цахилгааны инженерийн номноос би нэгэн сонирхолтой харьцуулалтыг олж мэдсэн: тэгээр хуваах нь өндөр хүчдэлийн цахилгаантай адил аюултай. Энэ нь хэвийн үзэгдэл юм: Ом-ын хуулиар хүчдэл ба эсэргүүцлийн харьцаа нь гүйдэлтэй тэнцүү байна: V = U / R. Хэрэв эсэргүүцэл тэг байсан бол онолын хувьд хязгааргүй гүйдэл дамжуулагчаар дамжин урсаж, бүх боломжит дамжуулагчийг шатаах болно.
Би нэг удаа долоо хоногийн өдөр бүрийг тэгээр хуваах нь хор хөнөөлийн тухай шүлэг бичсэн. Хамгийн гайхалтай өдөр бол пүрэв гариг байсныг санаж байна, гэхдээ энэ чиглэлээр хийсэн бүх ажил маань харамсалтай.
Ямар нэг зүйлийг тэгээр хуваах үед
Маш эрт Даваа гараг
Сая юу болсон бэ
Та аль хэдийн бүтэлгүйтсэн.
Мягмар гарагийн үдээс хойш
Та хуваарьт тэгийг оруулаарай
Би чамд хэлье, чи буруу байна
Муу математикч!
Тэгтэл, гажуудлаар дамжин,
Лхагва гарагт салмаар байна
Та маш их асуудалд орох болно
Чиний толгойд өвс, ус байна!
Нэгэн Бартек бидэнтэй хамт байсан.
Тэр дүрэм журамтай зөрчилдөж байв.
Пүрэв гарагт энэ нь тэгээр хуваагдана.
Тэр бидний дунд байхаа больсон!
Хэрэв хачин хүсэл таныг эзэмдэх юм бол
Баасан гаригт тэгээр хуваа
Би үнэнээ хэлье, би үнэнээ хэлье:
Энэ амралтын өдрүүдийн эхлэл муу байна.
Тэг байхад хаа нэгтээ бямба гаригт
Хуваагч нь таных байх болно (зоригтой биш)
Сүмийн хашааны дор өвдөглөнө.
Энэ бол таны амилалт юм.
Та зураасны доор тэг байхыг хүсч байна уу?
Ням гарагт амралтаа хий
Шохой, хар самбар авчир.
Бичих: энэ нь тэгээр хуваагддаггүй!
Тэг нь хоосон, хоосон зүйлтэй холбоотой. Үнэн хэрэгтээ тэрээр математикт аль нэгийг нэмбэл өөрчлөгддөггүй хэмжигдэхүүн болгон ирсэн: x + 0 = x. Харин одоо тэг нь бусад хэд хэдэн утгуудад, ялангуяа дараах байдлаар харагдаж байна масштабын эхлэл. Хэрэв цонхны гадна талд эерэг температур, хяруу байхгүй бол ... энэ нь тэг бөгөөд энэ нь температур огт байхгүй гэсэн үг биш юм. Тэг ангиллын хөшөө гэдэг бол нураад удаж байгаа, зүгээр л байдаггүй хөшөө биш. Эсрэгээрээ энэ нь Вавел, Эйфелийн цамхаг, Эрх чөлөөний хөшөө шиг зүйл юм.
Байршлын систем дэх тэгийн ач холбогдлыг хэт үнэлж баршгүй. Уншигч та Билл Гейтсийн дансанд хэдэн тэг байдгийг мэдэх үү? Би мэдэхгүй ч хагасыг нь авмаар байна. Наполеон Бонапарт хүмүүс тэгтэй адил байдгийг анзаарсан бололтой: тэд албан тушаалаар дамжуулан утгыг олж авдаг. Анжей Важдагийн "Он жилүүд, өдрүүд өнгөрөх тусам" кинонд хүсэл тэмүүлэлтэй зураач Жерзи "Филист бол тэг, nihil, юу ч биш, юу ч биш, нихил, тэг" гэж тэсрэлт хийдэг. Гэхдээ тэг нь сайн байж болно: "нормоос тэг хазайлт" гэдэг нь бүх зүйл сайхан байна гэсэн үг бөгөөд үүнийг үргэлжлүүлээрэй!
Математик руугаа буцаж орцгооё. Тэгийг нэмж, хасаж, үржүүлж болно. "Би тэг килограмм нэмсэн" гэж Маня Аня руу хэлэв. "Энэ нь сонирхолтой юм, учир нь би ижил жингээ хассан" гэж Аня хариулав. Тиймээс зургаан удаа зайрмагны XNUMX порцыг зургаан удаа идье, энэ нь бидэнд хор хөнөөл учруулахгүй.
Бид тэгээр хувааж чадахгүй ч тэгээр хувааж болно. Хоолоо хүлээж байгаа хүмүүст нэг таваг XNUMX банш амархан тарааж болно. Тус бүр хэдэн төгрөг авах вэ?
Тэг нь эерэг эсвэл сөрөг биш. Энэ болон тоо эерэг буси сөрөг бус. Энэ нь x≥0 ба x≤0 тэгш бус байдлыг хангадаг. "Эерэг зүйл" гэсэн зөрчил нь "сөрөг зүйл" биш, харин "сөрөг эсвэл тэгтэй тэнцүү зүйл" юм. Математикчид хэлний дүрмээс үл хамааран ямар нэг зүйлийг "тэг" биш "тэгтэй тэнцүү" гэж үргэлж хэлэх болно. Энэ практикийг зөвтгөхийн тулд бид: хэрэв бид x = 0 "x нь тэгтэй тэнцүү" гэсэн томьёог уншвал x = 1 гэж уншвал "х нь нэгтэй тэнцүү" гэж уншина, үүнийг залгиж болно, гэхдээ "x = 1534267" ? Та мөн 0 тэмдэгтэнд тоон утгыг оноож болохгүй0тэгийг сөрөг хүчин болгон өсгөж болохгүй. Нөгөөтэйгүүр, та өөрийн үзэмжээр тэгийг үндэслэж болно ... үр дүн нь үргэлж тэг байх болно.
Экспоненциал функц y = ax, a-ийн эерэг суурь нь хэзээ ч тэг болдоггүй. Үүнээс үзэхэд тэг логарифм байдаггүй. Үнэн хэрэгтээ, a-ийн b суурийн логарифм нь а-ийн логарифмыг олж авахын тулд суурийг өсгөх ёстой илтгэгч юм. a = 0-ийн хувьд ийм үзүүлэлт байхгүй бөгөөд тэг нь логарифмын суурь байж болохгүй. Гэсэн хэдий ч Ньютоны тэмдгийн "хүлээн авагч" дахь тэг нь өөр зүйл юм. Эдгээр конвенцууд нь зөрчилдөөнд хүргэхгүй гэж бид үзэж байна.
хуурамч нотлох баримт
Тэгээр хуваах нь худал нотлох нийтлэг сэдэв бөгөөд туршлагатай математикчдад ч тохиолддог. Би танд дуртай хоёр жишээг хэлье. Эхнийх нь алгебр юм. Бүх тоо тэнцүү гэдгийг би "нотолно". Тэнцүү биш хоёр тоо байна гэж бодъё. Иймд нэг нь нөгөөгөөсөө их байвал a > b гэж үзье. c нь тэдний ялгаа гэж үзье
c \uXNUMXd a - b. Тэгэхээр бидэнд a - b = c, үүнээс a = b + c байна.
Бид сүүлчийн хоёр хэсгийг хоёуланг нь a - b-ээр үржүүлнэ.
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
Би ак гэж зүүн тал руу орчуулсан, мэдээжийн хэрэг тэмдгийг өөрчлөхөө санаж байна:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
Би нийтлэг хүчин зүйлсийг хассан:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
Би хуваалцаж, хүссэн зүйлээ авсан:
a = b.
Тэгээд үнэндээ бүр хачирхалтай, учир нь би a > b гэж таамаглаж, би a = b гэж авсан. Хэрэв дээрх жишээн дээр "хууран мэхлэх" нь амархан танигддаг бол доорх геометрийн нотолгоонд энэ нь тийм ч хялбар биш юм. Би ... трапец байхгүй гэдгийг батлах болно. Трапец гэж нэрлэгддэг дүрс байдаггүй.
Гэхдээ эхлээд трапец (доорх зураг дээрх ABCD) гэж ийм зүйл байдаг гэж бодъё. Энэ нь хоёр зэрэгцээ талтай ("суурь"). Зурагт үзүүлсэн шиг эдгээр суурийг сунгаж, параллелограммыг олж авцгаая. Түүний диагональууд нь трапецын нөгөө диагональыг уртыг нь x, y, z гэж тэмдэглэсэн сегментүүдэд хуваадаг. зураг 1. Харгалзах гурвалжны ижил төстэй байдлаас бид пропорцийг олж авна.
Бид хаана тодорхойлно:
Одоо
Бид хаана тодорхойлно:
Одоор тэмдэглэгдсэн тэгш байдлын талуудыг хасна:
Хоёр талыг x − z-ээр богиносговол бид – a/b = 1 болно, энэ нь a + b = 0 гэсэн үг юм. Харин a, b тоонууд нь трапецын суурийн урт юм. Хэрэв тэдгээрийн нийлбэр тэг бол тэдгээр нь бас тэг болно. Энэ нь трапец шиг дүрс байж болохгүй гэсэн үг юм! Тэгш өнцөгт, ромб, дөрвөлжин нь бас трапец байдаг тул эрхэм уншигч, ромб, тэгш өнцөгт, дөрвөлжин гэж байдаггүй ...
Guess Guess
Мэдээлэл хуваалцах нь үндсэн дөрвөн үйл ажиллагаанаас хамгийн сонирхолтой бөгөөд хамгийн хэцүү зүйл юм. Энд бид анх удаа насанд хүрсэн үед ийм нийтлэг үзэгдэлтэй тулгардаг: "хариултыг тааж, зөв таасан эсэхээ шалгаарай." Үүнийг Даниел К.Деннетт ("Хэрхэн алдаа гаргах вэ?", How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Warsaw, 1997) маш оновчтой илэрхийлсэн байдаг.
"Таамаглах" энэ арга нь бидний насанд хүрэгчдийн амьдралд саад болохгүй - магадгүй бид үүнийг эрт сурч мэдсэн тул таамаглахад хэцүү биш юм. Үзэл суртлын хувьд ижил үзэгдэл, жишээлбэл, математик (бүрэн) индукцид тохиолддог. Үүнтэй ижил газарт бид томьёог "таадаг" бөгөөд дараа нь бидний таамаг зөв эсэхийг шалгадаг. Оюутнууд үргэлж асуудаг: "Бид загварыг яаж мэдсэн бэ? Үүнийг яаж гаргах вэ?" Оюутнууд надаас энэ асуултыг асуухад би тэдний асуултыг хошигнол болгон хувиргадаг: "Би мэргэжлийн хүн учраас би үүнийг мэддэг, учир нь би мэдэхийн тулд мөнгө авдаг". Сургуулийн оюутнуудад ижил хэв маягаар, зөвхөн илүү нухацтай хариулж болно.
Дасгал хийх. Бид хамгийн бага нэгжээр нэмэх, бичих үржүүлэх, хамгийн их нэгжээр хуваах ажлыг эхлүүлдэг гэдгийг анхаарна уу.
Хоёр санааны хослол
Математикийн багш нар бидний насанд хүрэгчдийн тусгаарлалт гэж нэрлэдэг зүйл бол хоёр өөр үзэл санааны нэгдэл гэдгийг үргэлж онцолдог. Орон сууц i тусгаарлах.
Эхнийх нь (Орон сууц) архетип нь дараахь ажлуудад тохиолддог.
Хуваах-хуваах Эдгээр нь дараахь ажлууд юм.
? (Бид 1892 онд Краков хотод хэвлэгдсэн Жулиан Згозалевичийн гарын авлагаас авсан энэ асуудлын анхны хэв маягийг хадгалсан - злот нь XNUMX онд Австри-Унгарын эзэнт гүрэнд XNUMX-р зууны эхэн үе хүртэл гүйлгээнд байсан мөнгөн тэмдэгт болох Ренийн злот юм).
Одоо хоёр асуудлыг авч үзье Польш хэл дээрх хамгийн эртний математикийн сурах бичиг, эцэг Томаш Клос (1538). Энэ нь дивиз эсвэл купе уу? Үүнийг XNUMX-р зууны сургуулийн сурагчдын хийх ёстой арга замаар шийдээрэй.
(Польшоос Польш хэлнээс орчуулга: Торхонд нэг кварт, дөрвөн тогоо байдаг. Торхон нь дөрвөн кварт. Хэн нэгэн худалдаанд зориулж 20 zł-ээр 50 торх дарс худалдаж авсан. Албан татвар, татвар (онцгой татвар?) 8 zł болно. Хэр их 8 zł олохын тулд кварт зарах уу?)
Спорт, физик, нийцтэй байдал
Заримдаа спортод та ямар нэг зүйлийг тэгээр (гоолын харьцаа) хуваах хэрэгтэй болдог. Яахав, шүүгчид ямар нэг байдлаар шийддэг. Гэсэн хэдий ч хийсвэр алгебрийн хувьд тэд хэлэлцэх асуудлын жагсаалтад байдаг. тэгээс өөр тоо хэмжээтүүний квадрат нь тэг байна. Үүнийг бүр энгийнээр тайлбарлаж болно.
(y, 0) цэгийг (х, у) хавтгайн цэгтэй холбосон F функцийг авч үзье. Ф гэж юу вэ2, өөрөөр хэлбэл, F-ийн давхар гүйцэтгэл? Тэг функц - цэг бүр дүрстэй (0,0).
Эцэст нь, квадрат нь 0 байх тэгээс бусад хэмжигдэхүүнүүд нь физикчдийн бараг өдөр тутмын талх бөгөөд a + bε хэлбэрийн тоонууд бөгөөд энд ε ≠ 0, харин ε2 = 0 гэж математикчид дууддаг давхар тоо. Эдгээр нь математик анализ болон дифференциал геометрт тохиолддог.
Эцсийн эцэст, арифметикт ядаж нэрэндээ тэг хуваах зүйл байдаг. Энэ нь ирдэг зохицол. Бүхэл тооны олонлогийг Z гэж тэмдэглэе. Z олонлогийг p-д хуваана гэдэг нь бид тоо бүрийг (бүхэл тоо) бусадтай, тухайлбал тэдгээрийн ялгаа нь хуваагддаг тоотой адилтгана гэсэн үг юм. Тиймээс бид 0, 1, 2, 3, 4 тоонуудтай харгалзах таван төрлийн тоо байх үед - 5-д хуваах боломжтой үлдэгдэл. Томьёог дараах байдлаар бичнэ.
ялгаа нь олон тоо байх үед mod.
= 2-ын хувьд бидэнд 0 ба 1 гэсэн хоёр л тоо бий. Бүхэл тоог ийм хоёр ангилалд хуваах нь тэгш, сондгой гэж хуваахтай тэнцэнэ. Одоо орлуулъя. Ялгаа нь үргэлж 1-д хуваагддаг (ямар ч бүхэл тоо 1-д хуваагддаг). =0 авах боломжтой юу? Оролдоод үзье: хоёр тооны зөрүү хэзээ тэгийн үржвэр болох вэ? Энэ хоёр тоо тэнцүү байх үед л. Тиймээс бүхэл тоонуудын багцыг тэгээр хуваах нь утга учиртай боловч сонирхолтой биш: юу ч болохгүй. Гэхдээ энэ нь бага сургуулиас мэддэг утгаараа тооны хуваагдал биш гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй.
Ийм үйлдлүүдийг зүгээр л хориглодог, түүнчлэн урт, өргөн математик.
Цагаан будаа. 2. Харьцуулалт ашиглан тоог тодорхойлох
(5-р горим ба 2-р горим)
